PROBABILITAS SUATU KEJADIAN
• Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil percobaan statistika dinilai dengan menggunakan bil real yang disebut bobot atau probabilitas (peluang) dengan nilai dari 0 sampai 1.
• Untuk tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sedemikian hingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
• Bila titik sampel tertentu mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi, maka bobot yang diberikan hendaknya dekat dengan 1. Sebaliknya, bobot yang lebih dekat dengan 0 diberikan pada titik sampel yang kecil kemungkinannya terjadi.
• Probabilitas suatu kejadian A adalah :
Jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk dalam A. Jadi :
0 P(A) 1
P() = 0
P(S) = 1
CONTOH:
Sekeping uang logam setimbang dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitasnya sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali ?
Jawab :
Ruang sampel percobaan ini adalah :
S = {AA, AG, GA, GG}
Bila D menyatakan kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali, maka
D = {GA, AG, GG}
P(D) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾
• Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah :
P(A) = n/N
CONTOH :
Sekantung obat berisi 6 vitamin rasa jeruk, 4 rasa anggur, dan 3 rasa strawberi. Bila seseorang mengambil satu obat secara acak, carilah probabilitasnya mendapat :
a. Satu rasa jeruk
b. Satu rasa anggur atau strawberi.
Jawab :
Misalkan J, A, dan S masing-masing menyatakan kejadian bahwa yang terpilih adalah rasa teruk, anggur dan strawberi. Jumlah tablet 13, semuanya terpilih dengan probabilitas yang sama.
a. Karena 6 dari 13 tablet dengan rasa jeruk, maka probabilitas kejadian J, satu rasa j eruk terpilih secara acak
P(J) = 6/13
b. Karena 7 dari 13 tablet dengan rasa anggur atau strawberi, maka
P(A B) = 7/13
• Definisi probabilitas berdasarkan frekuensi relatif :
Penentuan probabilitas didasarkan atas pengetahuan sebelumnya atau berdasarkan bukti percobaan.
Penentuan probabilitas didasarkan atas frekuensi relatif dari terjadinya kejadian apabila banyaknya pengamatan sangat besar.
• Definisi probabilitas berdasarkan subyektivitas :
Penentuan probabilitas didasarkan atas intuisi, keyakinan pribadi, & informasi tidak langsung lain.
2.3. ATURAN PENJUMLAHAN
• Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
• Bila A dan B adalah dua kejadian yang saling terpisah (mutually exclusive), maka
P(A B) = P(A) + P(B)
• Bila A, B, C adalah tiga kejadian sembarang, maka
P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A C) – P(B C)
+ P(A B C)
• Bila A1, A2,.…, An adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka
P(A1 A2 … An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
• Bila A dan A’ adalah dua kejadian berkomplementer, maka
P(A) + P(A’) = 1
CONTOH:
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus statistika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?
Jawab :
Bila M menyatakan kejadian ‘lulus Matematika’ dan S ‘lulus statistika’ maka
P(M S) = P(M) + P(S) – P(M S)
= 2/3 + 4/9 – ¼ =31/36
CONTOH:
Berapakah probabilitas mendapat 7 atau 11 bila dua dadu dilemparkan ?
Jawab :
Misalkan A kejadian jumlah 7 muncul, dan B kejadian jumlah 11 muncul. Jumlah 7 dapat muncul dalam 6 dari 36 titik sampel dan jumlah 11 dalam 2 titik sampel. Karena semua titik berkemungkinan sama maka P(A) = 6/36 = 1/6. dan P(b) = 2/36 = 1/18. Kejadian A dan B saling terpisah karena jumlah 7 dan 11 tidak mungkin terjadi pada lemparan yang sama, sehingga
P(A B) = P(A) + P(B)
= 1/6 + 1/18 = 2/9
2.4. PROBABILITAS BERSYARAT DAN INDEPENDENSI
PENGERTIAN :
Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) biasanya dibaca “peluang B terjadi bila diketahui A terjadi” atau lebih sederhana lagi “peluang B, bila A diketahui”.
Definisi 1 :
Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P(B|A), ditentukan oleh :
CONTOH:
1. Probabilitas suatu penerbangan yang telah terjadual teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83; probabilitas sampai tepat waktu P(S) = 0,82; dan probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu P(B S) = 0,78. Carilah probabilitas bahwa pesawat :
a. sampai tepat waktu apabila diketahui berangkat tepat waktu,
b. berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Jawab :
a. Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu adalah :
b. Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu apabila diketahui sampai tepat waktu adalah :
Definisi 2 :
Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika :
P(B|A) = P(B)
dan
P(A|B) = P(A).
Jika tidak demikian, maka A dan B tak bebas.
CONTOH 13 :
Misalkan diberikan suatu percobaan yang berkaitan dengan pengambilan 2 kartu yang diambil berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai :
A = kartu pertama yang terambil as,
B = kartu kedua sebuah skop (spade).
Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri dari 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop. Jadi
dan
Jadi, P(B|A) = P(B). Apabila hal ini benar, maka kejadian A dan B dikatakan bebas (independent).
Definisi 3 :
Bila dalam suatu percobaan A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :
P(A B) = P(A) P(BA)
P(A B) = P(B) P(AB)
CONTOH:
Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya ke kantong kedua. Berapakah probabilitas apabila sekarang diambil bola hitam dari kantong kedua ?
Jawab :
Misalkan H1, H2, dan M1 masing-masing menyatakan mengambil 1 bola hitam dari kantong 1, 1 bola hitam dari kantong 2, dan 1 bola merah dari kantong 1. Ingin diketahui gabungan dari kejadian mutually exclusive H1 H2 dan M1 H2. Berbagai kemungkinan dan probabilitasnya diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.
Selanjutnya,
Definisi 4 :
Bila 2 kejadian A dan B bebas, maka :
P(A B) = P(A) P(B)
CONTOH:
Suatu kota kecil mempunyai sebuah mobil pemadam kebakaran dan sebuah ambulans untuk keadaan darurat. Probabilitas mobil pemadam kebakaran siap setiap waktu diperlukan adalah 0,98; probabilitas mobil ambulans siap setiap waktu dipanggil adalah 0,92. Jika dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, maka carilah probabilitas keduanya siap.
Jawab :
Misalkan A dan B masing-masing menyatakan Kejadian mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap. Oleh karena itu,
P(A B) = P(A) P(B) = (0,98)(0,92) = 0,9016.
Definisi 5 :
Bila dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak dapat terjadi, maka :
P(A1A2 …Ak) = P(A1).P(A2A1).P(A3 A1A2).
P(Ak A1A2 … Ak-1)
CONTOH:
Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (yang berisi 52 kartu). Carilah probabilitas bahwa kejadian A1 A2 A3 terjadi, apabila A1 kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian bahwa kartu kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian bahwa kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.
Jawab :
Diketahui bahwa :
A1 : kartu pertama as berwarna merah,
A2 : kartu kedua 10 atau jack,
A3 : kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.
Selanjutnya,
sehingga diperoleh bahwa :
Definisi 5 :
Bila A1, A2, …, Ak saling bebas, maka :
P(A1A2 …Ak) = P(A1).P(A2).P(A3) … P(Ak)
Teorema :
Bila kejadian B1, B2, …, Bk merupakan partisi dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk setiap kejadian A anggota S :
atau
P(A) = P(B1)P(AB1) + P(B2)P(AB2) +… + P(Bk)P(ABk)
BUKTI :
Perhatikan diagram Venn pada Gambar di bawah ini. Terlihat bahwa kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang mutually exclusive B1 A, B2 A, …, Bk A, yaitu :
A = (B1 A) (B2 A) … (Bk A).
Dengan menggunakan pernyataan yang mengatakan bahwa :
Apabila E1, E2,…, Ek kejadian yang disjoint, maka P(E1 E2 … Ek) = P(E1) +
P(E2) + … + P(Ek).
serta
Apabila kejadian E1 dan E2 dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P(E1 E2) = P(E1)P(E2| E1).
Sehingga diperoleh :
P(A) = P[(B1 A) (B2 A) … (Bk A)]
= P(B1 A) + P(B2 A) + … + P(Bk A)
=
CONTOH :
Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Probabilitas Pak Ali terpilih adalah 0,3; probabilitas Pak Badu terpilih adalah 0,5; sedangkan probabilitas Pak Cokro adalah 0,2. Apabila Pak Ali terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Apabila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapakah probabilitas iuran akan naik ?
Jawab :
Perhatikan kejadian sebagai berikut.
A = Orang yang terpilih menaikkan iuran
B1 = Pak Ali yang terpilih
B2 = Pak Badu yang terpilih
B3 = Pak Cokro yang terpilih.
Berdasarkan teorema jumlah probabilitas, maka diperoleh :
P(A) = P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3)
Dengan melihat diagram pohon pada Gambar di bawah ini, terlihat bahwa ketiga cabang mempunyai probabilitas
P(B1)P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24
P(B2)P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05
P(B3)P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,08.
Jadi P(A) = 0,24 + 0,05 + 0,08 = 0,37.
• Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil percobaan statistika dinilai dengan menggunakan bil real yang disebut bobot atau probabilitas (peluang) dengan nilai dari 0 sampai 1.
• Untuk tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sedemikian hingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
• Bila titik sampel tertentu mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi, maka bobot yang diberikan hendaknya dekat dengan 1. Sebaliknya, bobot yang lebih dekat dengan 0 diberikan pada titik sampel yang kecil kemungkinannya terjadi.
• Probabilitas suatu kejadian A adalah :
Jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk dalam A. Jadi :
0 P(A) 1
P() = 0
P(S) = 1
CONTOH:
Sekeping uang logam setimbang dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitasnya sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali ?
Jawab :
Ruang sampel percobaan ini adalah :
S = {AA, AG, GA, GG}
Bila D menyatakan kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali, maka
D = {GA, AG, GG}
P(D) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾
• Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah :
P(A) = n/N
CONTOH :
Sekantung obat berisi 6 vitamin rasa jeruk, 4 rasa anggur, dan 3 rasa strawberi. Bila seseorang mengambil satu obat secara acak, carilah probabilitasnya mendapat :
a. Satu rasa jeruk
b. Satu rasa anggur atau strawberi.
Jawab :
Misalkan J, A, dan S masing-masing menyatakan kejadian bahwa yang terpilih adalah rasa teruk, anggur dan strawberi. Jumlah tablet 13, semuanya terpilih dengan probabilitas yang sama.
a. Karena 6 dari 13 tablet dengan rasa jeruk, maka probabilitas kejadian J, satu rasa j eruk terpilih secara acak
P(J) = 6/13
b. Karena 7 dari 13 tablet dengan rasa anggur atau strawberi, maka
P(A B) = 7/13
• Definisi probabilitas berdasarkan frekuensi relatif :
Penentuan probabilitas didasarkan atas pengetahuan sebelumnya atau berdasarkan bukti percobaan.
Penentuan probabilitas didasarkan atas frekuensi relatif dari terjadinya kejadian apabila banyaknya pengamatan sangat besar.
• Definisi probabilitas berdasarkan subyektivitas :
Penentuan probabilitas didasarkan atas intuisi, keyakinan pribadi, & informasi tidak langsung lain.
2.3. ATURAN PENJUMLAHAN
• Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
• Bila A dan B adalah dua kejadian yang saling terpisah (mutually exclusive), maka
P(A B) = P(A) + P(B)
• Bila A, B, C adalah tiga kejadian sembarang, maka
P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A C) – P(B C)
+ P(A B C)
• Bila A1, A2,.…, An adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka
P(A1 A2 … An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
• Bila A dan A’ adalah dua kejadian berkomplementer, maka
P(A) + P(A’) = 1
CONTOH:
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus statistika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?
Jawab :
Bila M menyatakan kejadian ‘lulus Matematika’ dan S ‘lulus statistika’ maka
P(M S) = P(M) + P(S) – P(M S)
= 2/3 + 4/9 – ¼ =31/36
CONTOH:
Berapakah probabilitas mendapat 7 atau 11 bila dua dadu dilemparkan ?
Jawab :
Misalkan A kejadian jumlah 7 muncul, dan B kejadian jumlah 11 muncul. Jumlah 7 dapat muncul dalam 6 dari 36 titik sampel dan jumlah 11 dalam 2 titik sampel. Karena semua titik berkemungkinan sama maka P(A) = 6/36 = 1/6. dan P(b) = 2/36 = 1/18. Kejadian A dan B saling terpisah karena jumlah 7 dan 11 tidak mungkin terjadi pada lemparan yang sama, sehingga
P(A B) = P(A) + P(B)
= 1/6 + 1/18 = 2/9
2.4. PROBABILITAS BERSYARAT DAN INDEPENDENSI
PENGERTIAN :
Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) biasanya dibaca “peluang B terjadi bila diketahui A terjadi” atau lebih sederhana lagi “peluang B, bila A diketahui”.
Definisi 1 :
Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P(B|A), ditentukan oleh :
CONTOH:
1. Probabilitas suatu penerbangan yang telah terjadual teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83; probabilitas sampai tepat waktu P(S) = 0,82; dan probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu P(B S) = 0,78. Carilah probabilitas bahwa pesawat :
a. sampai tepat waktu apabila diketahui berangkat tepat waktu,
b. berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Jawab :
a. Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu adalah :
b. Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu apabila diketahui sampai tepat waktu adalah :
Definisi 2 :
Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika :
P(B|A) = P(B)
dan
P(A|B) = P(A).
Jika tidak demikian, maka A dan B tak bebas.
CONTOH 13 :
Misalkan diberikan suatu percobaan yang berkaitan dengan pengambilan 2 kartu yang diambil berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai :
A = kartu pertama yang terambil as,
B = kartu kedua sebuah skop (spade).
Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri dari 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop. Jadi
dan
Jadi, P(B|A) = P(B). Apabila hal ini benar, maka kejadian A dan B dikatakan bebas (independent).
Definisi 3 :
Bila dalam suatu percobaan A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :
P(A B) = P(A) P(BA)
P(A B) = P(B) P(AB)
CONTOH:
Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya ke kantong kedua. Berapakah probabilitas apabila sekarang diambil bola hitam dari kantong kedua ?
Jawab :
Misalkan H1, H2, dan M1 masing-masing menyatakan mengambil 1 bola hitam dari kantong 1, 1 bola hitam dari kantong 2, dan 1 bola merah dari kantong 1. Ingin diketahui gabungan dari kejadian mutually exclusive H1 H2 dan M1 H2. Berbagai kemungkinan dan probabilitasnya diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.
Selanjutnya,
Definisi 4 :
Bila 2 kejadian A dan B bebas, maka :
P(A B) = P(A) P(B)
CONTOH:
Suatu kota kecil mempunyai sebuah mobil pemadam kebakaran dan sebuah ambulans untuk keadaan darurat. Probabilitas mobil pemadam kebakaran siap setiap waktu diperlukan adalah 0,98; probabilitas mobil ambulans siap setiap waktu dipanggil adalah 0,92. Jika dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, maka carilah probabilitas keduanya siap.
Jawab :
Misalkan A dan B masing-masing menyatakan Kejadian mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap. Oleh karena itu,
P(A B) = P(A) P(B) = (0,98)(0,92) = 0,9016.
Definisi 5 :
Bila dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak dapat terjadi, maka :
P(A1A2 …Ak) = P(A1).P(A2A1).P(A3 A1A2).
P(Ak A1A2 … Ak-1)
CONTOH:
Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (yang berisi 52 kartu). Carilah probabilitas bahwa kejadian A1 A2 A3 terjadi, apabila A1 kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian bahwa kartu kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian bahwa kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.
Jawab :
Diketahui bahwa :
A1 : kartu pertama as berwarna merah,
A2 : kartu kedua 10 atau jack,
A3 : kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.
Selanjutnya,
sehingga diperoleh bahwa :
Definisi 5 :
Bila A1, A2, …, Ak saling bebas, maka :
P(A1A2 …Ak) = P(A1).P(A2).P(A3) … P(Ak)
Teorema :
Bila kejadian B1, B2, …, Bk merupakan partisi dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk setiap kejadian A anggota S :
atau
P(A) = P(B1)P(AB1) + P(B2)P(AB2) +… + P(Bk)P(ABk)
BUKTI :
Perhatikan diagram Venn pada Gambar di bawah ini. Terlihat bahwa kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang mutually exclusive B1 A, B2 A, …, Bk A, yaitu :
A = (B1 A) (B2 A) … (Bk A).
Dengan menggunakan pernyataan yang mengatakan bahwa :
Apabila E1, E2,…, Ek kejadian yang disjoint, maka P(E1 E2 … Ek) = P(E1) +
P(E2) + … + P(Ek).
serta
Apabila kejadian E1 dan E2 dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P(E1 E2) = P(E1)P(E2| E1).
Sehingga diperoleh :
P(A) = P[(B1 A) (B2 A) … (Bk A)]
= P(B1 A) + P(B2 A) + … + P(Bk A)
=
CONTOH :
Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Probabilitas Pak Ali terpilih adalah 0,3; probabilitas Pak Badu terpilih adalah 0,5; sedangkan probabilitas Pak Cokro adalah 0,2. Apabila Pak Ali terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Apabila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapakah probabilitas iuran akan naik ?
Jawab :
Perhatikan kejadian sebagai berikut.
A = Orang yang terpilih menaikkan iuran
B1 = Pak Ali yang terpilih
B2 = Pak Badu yang terpilih
B3 = Pak Cokro yang terpilih.
Berdasarkan teorema jumlah probabilitas, maka diperoleh :
P(A) = P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3)
Dengan melihat diagram pohon pada Gambar di bawah ini, terlihat bahwa ketiga cabang mempunyai probabilitas
P(B1)P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24
P(B2)P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05
P(B3)P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,08.
Jadi P(A) = 0,24 + 0,05 + 0,08 = 0,37.
0 komentar:
Posting Komentar