Download materi Teori Graph

*  Graf
(bagian 1)

*         Bahan Kuliah

*         IF2091 Struktur Diskrit

*         Pendahuluan

*         Definisi Graf

*         Jenis-Jenis Graf

*         Contoh Terapan Graf

*         Latihan

*         Gambarkan graf yang menggambarkan  sistem pertandingan ½ kompetisi (round-robin tournaments) yang diikuti oleh 6 tim.

*         Terminologi Graf

*         Akibat dari lemma(corollary):

      

       Teorema: Untuk sembarang graf G, banyaknya simpul berderajat ganjil selau genap.

*         Latihan

*                         Mungkinkah dibuat graf-sederhana 5 simpul dengan derajat masing-masing simpul adalah:

             (a) 5, 2, 3, 2, 4

             (b) 4, 4, 3, 2, 3

             (c) 3, 3, 2, 3, 2

             (d) 4, 4, 1, 3, 2

             Jika mungkin, berikan satu contohnya, jika tidak mungkin, berikan alasan singkat.

Jawaban:

(a) 5, 2, 3, 2, 4: Tidak mungkin, karena ada simpul berderajat 5

(b) 4, 4, 3, 2, 3: Mungkin [contoh banyak]

(c) 3, 3, 2, 3, 2: Tidak mungkin, karena jumlah simpul berderajat ganjil ada 3 buah (alasan lain, karena jumlah derajat ganjil)

(d)         4, 4, 1, 3, 2: Tidak mungkin, karena simpul-1 dan simpul-2 harus bertetangga dengan simpul sisanya, berarti simpul-3 minimal berderajat 2 (kontradiksi dengan simpul-3 berderajat 1)

*        Beberapa Graf Khusus

*         Latihan

*         Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 16 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama dan tiap simpul berderajat ≥ 4 ?

*           Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf teratur.

*           Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2. Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r.

*           Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.

*           Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari 32):

       r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.

       r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.

*           Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah (maksimum dan minimum).

*         Representasi Graf

*         Graf Isomorfik

*           Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut.

*         Jawaban:

*           Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda)

        isomorfik!

*        Graf Isomorfik

*         Latihan

*         Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

*         Latihan

*         Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

*         Latihan

*         Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah  simpul

*         Jawaban:

*        Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

*           Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar,

*           jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.

*           K₄ adalah graf planar:

*         K₅ adalah graf tidak planar:

*           Aplikasi Graf Planar

*           Aplikasi Graf Planar

*           Perancangan IC (Integrated Circuit)

*           Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan à dapat menimbulkan interferensi arus listrik  malfunction

*           Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar

*         Latihan

*           Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan)

*           Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).

*           Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar):

*           Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang:

          n – e + f = 2 (Rumus Euler)

*           Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka

       7 – 11 + 6 = 2.

*         Latihan

*           Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk?

*         Jawaban:

*                     Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 ´ 4 = 96.

*                     Menurut lemmajabat tangan,

                    jumlah derajat = 2 ´ jumlah sisi,

           sehingga

                   jumlah sisi = e= jumlah derajat/2 = 96/2 = 48

*                     Dari rumus Euler, n– e + f = 2, sehingga 

            f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.      

*           Pada graf planar sederhana terhubung dengan f  buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku:

                   e £ 3n – 6

*           Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler,

*           yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana

*           kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi.

*           Contoh: Pada K₄, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab

                         6 £ 3(4) – 6.  Jadi, K₄ adalah graf planar.

       Pada graf K₅, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler  sebab

                        10 ³ 3(5) – 6.  Jadi, K₅ tidak planar

                 K₄                    K₅                           K_3,3

*         Latihan

*           Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar.

*       Jawaban:

*         Lintasan dan Sirkuit Euler

*       Latihan

*                         Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?

*         Lintasan dan Sirkuit Hamilton

*       Latihan

*           Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja?

*       Jawaban:

*            Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagai sisi.

*            Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titik asal) à melewati sisi tepat sekali  lintasan Euler

*            Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 6), selebihnya genap  pasti ada lintasan Euler

*            Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja

*         Beberapa Aplikasi Graf

*         Lintasan terpendek (shortest path)

       (akan dibahas pada kuliah IF3051)

*         Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem)

*         Persoalan tukang pos Cina (chinese postman problem)

*         Pewarnaan graf (graph colouring)

*        Persoalan Pedagang Keliling
(travelling salesperson problem (TSP)

       Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

==> menentukan sirkuit Hamilton yang

memiliki bobot minimum.

Aplikasi TSP:

• Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi  di berbagai sudut kota.

• Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan.

• Produksi nkomoditi berbeda dalam sebuah siklus.

       I₁ = (a, b, c, d, a) à bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45

       I₂ = (a, c, d, b, a) à bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41

       I₃ = (a, c, b, d, a) à bobot  = 10 + 5 + 9 + 8 = 32

       Sirkuit Hamilton terpendek:  I₃ = (a, c, b, d, a)

       dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.

•             Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6 ´ 10¹⁶ penyelesaian.

*        Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)

*           Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962.

*           Persoalan: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan?

        menentukan sirkuit Euler di dalam graf

*           Jika graf yang merepresentasikan persoalan adalah graf Euler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan.

*           Jika grafnya bukan graf Euler, maka beberapa sisi di dalam graf harus dilalui lebih dari sekali.

*           Jadi, pak pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungi setiap jalan paling sedikit sekalidan mempunyai jarak terpendek.

*         Pewarnaan Graf

*                         Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi

*                         Hanya dibahas perwarnaan simpul

*                         Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.

*           Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.

*           Peta terdiri atas sejumlah wilayah.

*           Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara.

*           Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.

*           Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi.

*           Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang berkoresponden.

*           Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda è warna setiap simpul harus berbeda.

*           Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta.

*           Simbol: c(G).

*           Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis kdilambangkan dengan c(G) = k.

*           Graf di bawah ini memiliki  c(G) = 3

*           Graf kosong N_n memiliki c(G) = 1, karena semua simpul tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpul cukup dibutuhkan satu warna saja.

*           Graf lengkap K_n memiliki c(G) = nsebab semua simpul saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.

*           Graf bipartit K_m,nmempunyai c(G) = 2, satu untuk simpul-simpul di himpunan V₁ dan satu lagi untuk simpul-simpul di V₂.

*           Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki c(G) = 3, sedangkan jika n genap maka c(G) = 2.

*           Sembarang pohon T memiliki c(T) = 2.

*           Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secara umum bilangan kromatiknya.

*           Perkembangan teorema pewarnaan graf:

       TEOREMA 1. Bilangan kromatik graf planar £ 6.

       TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar £ 5.

       TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar £ 4.

•             Teorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 19): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja?

•             Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Haken yang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir 2000 graf yang melibatkan jutaan kasus

*           Aplikasi lain pewarnaan graf: penjadwalan.

       Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya?

       Penyelesaian:

          simpul à mata kuliah

          sisi  ada mahasiswa yang mengambil                                kedua mata kuliah (2 simpul)

*         Latihan soal

•    Dapatkah kita menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul? Mengapa?

•    Tentukan jumlah simpul pada graf sederhana bila mempunyai 20 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama.

•    Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6 buah sisi menjadi planar? Ulangi soal yang sama untuk 11 buah sisi.

•     Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah  simpul.      

•     Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁= {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅= {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}. Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (jelaskansisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.

•     Apakah K₁₃ memiliki sirkuit Euler? Sirkuit Hamilton? Ulangi pertanyaan yang sama untuk K₁₄

•     Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf  sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi tersebut?