BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1dan z2=x2+iy2jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2= (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3adalah sebagai berikut:
1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)
5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral
penjumlahan)
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)
5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral
penjumlahan)
6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral
perkalian
perkalian
7. Untuk setiap z=x+iyÎℂ, ada –z=–x–iy)
sehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iyÎℂ, ada z-1=sehingga
z•z-1=1.
z•z-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
2.
3.
4.
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.
2.
3.
4. , dengan z2≠0.
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis |z| = |x+iy| =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka |z – z1| = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan |z – z1| < r dan |z – z1| > r
Gambarkanlah pada bidang z.
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
B. Jika z1, z2bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !
1. Bukti:
2. Bukti:
3. Bukti:
4. Bukti:
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,q).
Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cosq , y = r sinq,
sehingga q = arc tan
q adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, q) = r(cos q + i sin q) = r cis q.
dan sekawan dari z adalah = (r, -q) = r(cos q - i sin q).
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, q) = r(cos q + i sin q), sudut q disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut q dengan 0 £q < 2p atau -p < q £ p disebut argument utama dari z, ditulis q = Arg z. Pembatasan untuk sudut q tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos q1 + i sin q1) dan z2 = r2(cos q2 + i sin q2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan q1 = q2.
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, q) = r(cos q + i sin q) = r cis q, maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = reiq, dan sekawannya adalah re-iq.
Tugas: Buktikan bahwa eiq = cos q + i sin q, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos q , sin q dan et dengan mengganti t = iq.
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan q = 1, sehingga q = 45⁰= p
Jadi z = (cos p + i sin p) = cis p =
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos q + i sin q).
Jika z1 = r1(cos q1 + i sin q1) & z2 = r2(cos q2 + i sin q2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :
z1z2 = [r1(cos q1 + i sin q1)][r2(cos q2 + i sin q2)]
z1z2 = r1 r2 [(cos q1 cos q2 - sinq1sin q2) +
i (sin q1 cos q2 + cos q1sin q2)]
z1z2 = r1 r2 [cos (q1 + q2 ) + i sin (q1 + q2)]
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1z2) = q1 + q2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
Jika diketahui:
z1= r1(cos q1 + i sin q1)
z2= r2(cos q2 + i sin q2)
zn= rn(cos qn + i sin qn), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2…rn[cos (q1 + q2+…+qn) + i sin (q1 + q2+…+qn)] .
Akibatnya jika, z = r(cos q + i sin q) maka
zn = rn(cos nq + i sin nq). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos q + i sin q)n = cos nq + i sin nq, n asli.
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos q2 - i sin q2), maka
diperoleh : [cos (q1 - q2 ) + i sin (q1 - q2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg q1-q2 = arg z1 – arg z2.
Akibat lain jika z = r(cos q + i sin q),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2
Dari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = r(cosf +i sinf) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cosq+i sinq), maka dari zn = w diperoleh: rn(cosnf +i sinnf) = r(cosq+i sinq), sehingga rn = r dan nf= q+2k , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cosq+i sinq) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 £ < 2p, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = r(cosf +i sinf) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga r4(cos4f +i sin4f) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh r4 = 81, atau r = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. |z – 5| = 6 dan |z – 5| > 6
b. |z + i| = |z – i|
c. 1 < |z – i| < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
BAB II
FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.
Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks
Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.
1. Lingkungan/persekitaran
a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang
terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,
berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau |z – zo| < r.
b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik
z¹zo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat
di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau
0< |z – zo| < r.
Contoh :
a. N(i,1) atau |z – i | < 1, lihat pada gambar 1
b. N*(O,a) atau 0< |z – O| < a, lihat pada gambar 2
2. Komplemen
Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.
Contoh :
Gambarkan !
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z³ 1}.
B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z£2 atau z³4}.
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z³ 1}.
B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z£2 atau z³4}.
3. Titik limit
Titik zodisebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) maka N*(zo,d) Ç S ¹ f. Jika zo ∈ S dan zobukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.
3. Titik limit
Titik zodisebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) maka N*(zo,d) Ç S ¹ f. Jika zo ∈ S dan zobukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.
4. Titik batas
Titik zodisebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.
3. Titik limit
Titik zodisebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) maka N*(zo,d) Ç S ¹ f. Jika zo ∈ S dan zobukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.
4. Titik batas
Titik zodisebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,d) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.
5. Batas dari himpunan S
adalah himpunan semua titik batas dari S.
6. Interior dan Eksterior
Titik zodisebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,d) sehingga N(zo,d) Ì S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
6. Interior dan Eksterior
Titik zodisebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,d) sehingga N(zo,d) Ì S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.
6. Interior dan Eksterior
Titik zodisebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,d) sehingga N(zo,d) Ì S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.
8. Himpunan Tertutup
Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.
11. Daerah Tertutup
Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.
12. Penutup dari himpunan S
adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.
Contoh :
1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:
A adalah himpunan terbuka dan terhubung.
Batas dari A adalah { z / |z|=1}.
Penutup dari A adalah { z / |z|£1}.
2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.
Titik-titik limit dari B adalah { z / |z|£1}.
3. Diberikan C = { z / |z|£ 2}, maka:
Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}.
Fungsi Kompleks
Definisi :
Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w).
Fungsi tersebut ditulis w = f(z).
Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.
Contoh :
a) w = z + 1 – i
b) w = 4 + 2i
c) w = z2 – 5z
d) f(z) =
Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.
Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z =
Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.
Apabila z = r(cosq + i sinq), maka w = u(r, q) + iv(r, q).
Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Jawab :
Misal z = x + iy,
maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i
= 2(x + iy )2 – i
= 2(x2+2xyi-y2) – i
= 2(x2-y2) + i(2xy-1).
Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.
Jika z = r(cosq + i sinq).
Tentukan f(z) = z2 + i
Jika z = r(cosq + i sinq).
Tentukan f(z) = z2 + i
Jawab
f(z) = z2 + i
= [r (cosq+i sinq)]2 + i
= r2[cos2q - sin2q + 2isinqcosq] + i
= r2 (cos2q - sin2q) + r2isin2q + i
= r2 (cos2q - sin2q) +(1+r2sin2q)i
berarti u = r2(cos2q - sin2q) dan v = 1+r2sin2q) .
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.
‣ Jika RfÇ Dg ¹ f, maka ada fungsi komposisi (g⃘f) (z) = g (f (z)), dengan domain Df.
‣ Jika RgÇ Df ¹ f, maka ada fungsi komposisi (f⃘g) (z) = f (g (z)), dengan domain Dg.
∷ Tidak berlaku hukum komutatif pada (g⃘f) (z) dan (f⃘g)(z).
Contoh :
Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i
‣ Jika RfÇ Dg ¹ f,
maka (g⃘f) (z) = g (f (z))
= g(3z – i)
= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i
= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i
= 9z2 – 3z – 2 – 6iz
‣ Jika RgÇ Df ¹ f,
maka (f⃘g) (z) = f (g (z))
= f(z2 + z –1 + i)
= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Jadi (g⃘f) (z) ¹ (f⃘g)(z) atau
(g⃘f) ¹ (f⃘g), (tidak komutatif)
Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.
Contoh 1 :
Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1= 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1,z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini
Contoh 2 :
Diketahui fungsi w = z2.
Dengan menggunakan z = r (cosq+i sinq), maka diperoleh w = z2 = r2 (cos2q+i sin2q).
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 £ arg z £ a dipetakan menjadi daerah
0 £ arg w £ 2a.
Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
Definisi :
Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap e > 0, terdapat d > 0 sedemikian hingga
|f(z) – wo |< e, apabila 0 <|z – zo|< d,
ditulis:
Perlu diperhatikan bahwa :
• Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.
• Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari segala arah.
• Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati zo.
Contoh 1 :
Buktikan bahwa :
Bukti:
Misalkan diberikan bilangan e > 0, kita akan mencari d > 0 sedemikian, sehingga:
, untuk z ¹ 2
Lihat bagian sebelah kanan
Dari persamaan kanan diperoleh:
Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.
Bukti Formal :
Jika diberikan e > 0 , maka terdapat , sehingga untuk z ¹ 2, diperoleh
Jadi apabila
Terbukti
Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.
Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.
Bukti:
Misal limitnya w1 dan w2, maka
Teorema 2 :
Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik zo= (xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D.
Maka jika dan hanya jika
dan
Teorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.
lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z → zo)
2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo)
3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !
Contoh 1 :
Hitunglah
Contoh 1 :
Hitunglah
Jawab:
Contoh 2 :
Jika . Buktikan tidak ada !
Kekontinuan Fungsi
Definisi :
Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo,
maka lim f(z) = f(zo).
Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.
Teorema 4 :
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).
Teorema 5 :
Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi :
1. f(z) + g(z)
2. f(z) . g(z)
3. f(z) / g(z), g(z) ¹ 0
4. f(g(z)); f kontinu di g(zo),
kontinu di zo.
BAB III. TURUNAN
3.1 Definisi Turunan
Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan
zo Î D.
Jika diketahui bahwa nilai ada, maka
nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di
titik zo.
Dinotasikan : f’(zo)
⇛ Jika f’(zo) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau
diferensiabel di zo.
Dengan kata lain :
⇛ Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f
terdifferensial pada D
Contoh 3.1.1
Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh ℂ
Bukti :
Ditinjau sebarang titik zo Î ℂ
Teorema 3.1
Jika f fungsi kompleks dan f’(zo) ada, maka
f kontinu di zo
Bukti :
Bukti :
Diketahui f’(zo) ada
Akan dibuktikan f kontinu di zo atau
Contoh 3.1.2
Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks
tetapi hanya terdifferensial di z = 0
Bukti :
f(z) = |z|2 = x2+ y2 berarti u(x,y) = x2 + y2 dan
v(x,y) = 0
u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D
0 komentar:
Posting Komentar