w MATEMATIKA BISNIS & EKONOMI
w Oleh
w Hanung N. Prasetyo
w Dosen Matematika & Statistika
w
w Sumber/referensi
w - Matematika Terapan untuk Bisnis & Ekonomi
w Dumairy
w Penerbit BPFE Yogyakarta
w -
w Materi Perkuliahan
w Konsep-konsep Dasar Matematika
w Fungsi dan hubungan Linier
w Penerapan Linier dalam Ekonomi
w Fungsi Non Linier
w Penerapan Non Linier dalam Ekonomi
w Limit, differensial & Integral
w Matriks
w Program Linier
w Konsep-konsep Dasar
w Himpunan
w Sistem Bilangan
w Pangkat, akar & Logaritma
w Deret
w Himpunan
Tidak ada defenisi baku untuk himpunan
Def. Sementara
Himpunan adalah kumpulan obyek yang
cenderung memiliki jenis yang sama
Contoh penulisan : A={anggota/tanpa anggota}
w Operasi Himpunan
w Gabungan (Union) notasi U
w Irisan(Intersection) notasi Ç
w Selisih notasi (-)
w Pelengkap(complement) misal Him. AC
w Beberapa notasi Himpunan
a A berarti a anggota him A
a A berarti a bukan anggota him A
notasi untuk himpunan kosong atau { }
w Penyajian Himpunan
w Dua macam cara :
- Cara daftar
contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}
-Cara kaidah
contoh : A = {y] 6 > y > 0}
w Kaidah matematika dlm Himpunan
w Idempoten
w A Ç A = A A U A = A
w Asosiatif
w (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
w Komutatif
w A Ç B = B Ç A
w Distributif
w AU(B Ç C) = (AUB) Ç (AUC)
w Identitas
w A U = A
w A U S = S
w Kelengkapan
w A U Ac = S
w (Ac)c = A
w De Morgan
w (AUB)c= Ac Ç Bc
w Sistem Bilangan
Dalam matematika bilangan terbagi 2:
• Nyata terdiri dari Irrasional & rasional
• Tidak Nyata/unreal
Bilangan rasional sendiri terdiri atas :
bilangan bulat & pecahan
w Operasi Bilangan
w Kaidah Komutatif
w Kaidah Asosiatif
w Kaidah Pembatalan
w Kaidah Distributif
w Unsur Penyama
w Kebalikan
w Operasi tanda
Pada Prinsipnya operasi dalam matematika
hanya dua yaitu:
w Penjumlahan
Contoh: 2 + 3 = 5 ; 2 + -3 menjadi 2 – 3 = -1
w Perkalian
Contoh: 2 X 3 = 6 ; 2 X 1/3 = 2/3
w Pangkat, Akar & Logaritma
Pangkat adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.
Bentuk umum
a.a.a.a.a…. = an
Contoh : 7 X 7 X 7 X 7 = 74
w Kaidah Pemangkatan
w Pangkat, Akar & Logaritma
w Akar dari suatu bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangka akarnya
w Bentuk umum:
xa = m à x =
w Pangkat, akar & Logaritma
Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan pokok Logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
w Deret
w Hubungan Fungsional
w Fungsi
w Hubungan linier
w Penerapan Ekonomi
w Hubungan Non Linier
w Fungsi
w Suatu bentuk matematis yang menghubungkan bentuk ketergantungan antara satu variabel dengan variabel yang lainnnya
w Bentuk Umum dan sederhana
Y = a + bX
w Hubungan Linier
w Menghubungkan antara satu fungsi linier dengan fungsi linier yang lainnya sehingga diperoleh titik temu antara Fungsi-fungsi tersebut
w Ada tiga cara:
- Substitusi
- Eliminasi
- Determinasi
w Penerapan Ekonomi
w Keseimbangan Pasar (satu & dua jenis)
w Fungsi Anggaran
w Fungsi Biaya
w Fungsi Pendapatan Nasional
w Hubungan Non Linier
w Fungsi Non Linier
Yang biasa digunakan adalah kuadrat & kubik
w Aplikasi Non Linier
w Fungsi Biaya
w Fungsi Pendapatan Nasional
w Aljabar Kalkulus
w Limit
w Diferensial
w Integral
w Limit
w Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.
w Notasi
Lim f(x) = L
x--> a
w Kaidah Limit
1. Jika y = f(x) = xn dan n > 0 maka
2. Limit dari konstanta adalah konstanta sendiri
3.
4. Limit dari perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya
• Limit dari pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya
• Limit dari fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya
• Limit dari suatu fungsi terakar adalah akar dari limit fungsinya
• Dua buah fungsi yang serupa mempunyai limit yang sama jika f(x) = g(x) untuk semua x kecuali a dan
Maka juga
w Diferensial
w Differensial membahas tentang perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fngsi yang bersangkutan
w Sebagaimana diketahui analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan perubahan, penentuan tingkat maksimum dan minimum
w Integral
w Kebalikan dari differensial yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatifnya diketahui.
w Jenis Integral
w Integral tak tentu
w Integral tertentu
w PROGRAM LINIER
ALAT UNTUK MENCARI: SOLUSI OPTIMAL DENGAN SUMBER TERBATAS
Misal :
Perusahaan memproduksi n produk (sepatu laki-laki, wanita, anak-anak). Setipa produk membutuhkan sumber daya seperti kulit, mesin-mesin, tenaga kerja dsb. Yang terbatas. Berapakah jumlah sepatu wanita, laki-laki & anak-anak yang harus dibuat ?
w Asumsi : Hubungan linier karakteristik:
w 2 variable dengan grafik
w 2 variable simplex
w Teknik M
w Teknik Penalty
w Langkah-langkah:
• Klasifikasi tujuan dan pembahas
• Buat model matematik
w Fungsi obyektif (minimize/maximize)
w Fungsi pembatas
3. Gunakan teknik yang sesuai
4. Cari solusi optimal
w Contoh : (2 variable)
Sebuah perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu yaitu laki-laki & sepatu wanita.
Keuntungan yang dapat diperoleh adalah Rp 20.000,- untuk setiap pasang sepatu laki-laki membutuhkan kulit sebanyak 0,5 lembar kulit dan 1 pasang sepatu wanita membutuhkan 0,3 lembar kulit.
Setiap hari tersedia 1.500 lembar kulit.
Berdasarkan survey pasar, setiap hari perusahaan hanya mampu menjual 3.000 pasang sepatu.
Sedangkan pasar sepatu laki-laki masih terbuka.
Tentukan jumlah sepatu wanita dan sepatu laki-laki yang harus dibuat.
Jawaban :
Misalkan jumlah sepatu laki-laki = X1
jumlah sepatu wanita = X2
Fungsi obyektif : Max Z = 20.000 X1 + 20.000 X2
Pembatas : 0,5 X1 + 0,3 X2 ≤ 1.500 x1.x2 0
X2 ≤ 3000
w Gambarkan Daerah Feasible :
Pembatas 1 :
0,5 X1 + 0,3 X2 = 1.500
X1 = 0 , X2= 5.000
X2 = 0 , X1 = 3.000
Pembatas 2 : x1 + X2 ≤ 3000 à garis sejajar X1
w Latihan:
Sebuah perusahaan garmen membuat 2 macam baju yaitu baju laki-laki dan baju wanita. Perusahaan tersebut memiliki 20 mesin yang bekerja selama 12,5 jam sehari (termasuk lembar) untuk membuat 1 buat wanita maupun laki-laki dibutuhkan 5 jam mesin jahit. Berdasarkan pengalaman, pasar hanya mampu menyerap 30 baju wanita dan 40 baju laki-laki per hari, harga jual baju wanita = Rp 100.000,-, harga jual baju laki-laki = Rp 85.000,-
Biaya produksi adalah Rp 80.000,- per unit tentukan solusi optimal.
0 komentar:
Posting Komentar