contoh makalah matematika ekonomi terbaru

MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung. (JOSEP BINTANG KALANGI, MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS buku 2, hal 113)

KONSEP MATRIKS

            Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.

            Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital  A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

            Contoh :

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2 ditulis A_2x2  atau (a₂₂).

“Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”

KESAMAAN MATRIKS

            Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B.

Contoh :

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama.

b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.

MACAM-MACAM MATRIKS

MATRIKS BARIS

            Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.

Contoh : A =  ( 4  3  2  4  )

MATRIKS KOLOM

            Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh :  A = 

MATRIKS PERSEGI ATAU MATRIKS BUJUR SANGKAR

            Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom

Contoh :

Contoh :  A =         , 

MATRIKS NOL

            Matriks Nol adalah Suatu matriks  yang setiap unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf  O

Contoh :  O_2X3    = 

MATRIKS SEGI TIGA

            Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 (nol).

Contoh  : C =                             , D =  

MATRIKS DIAGONAL

            Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

           

 Contoh  :  E = 

MATRIKS SKALAR

            Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh  :  F =

MATRIKS IDENTITAS ATAU MATRIKS SATUAN

            Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada    diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf  I.

Contoh :  I₃ =                           ,   I₄  =

           

            I₃ adalah matriks identitas ordo 3 dan I₄ adalah matriks identitas ordo 4

MATRIKS SIMETRIS

            Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga a_ij= a_ji.

            Contoh :  G =

            Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga

MATRIKS MENDATAR

            Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

            Contoh :  H_2X3  =

MATRIKS TEGAK

            Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

            Contoh  : K_3x2  = 

MATRIKS TRANSPOS ( notasi A^t )

            Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A.

            Misal Matriks A =

           

            Maka Transpos A adalah A^t= 

            Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

SIFAT-SIFAT MATRIKS TRANSPOS

            1) ( A + B )^t = A^t + B^t

    2) ( A^t )^t = A

    3) ( AB )^t =  B^t A^t

OPERASI MATRIKS

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 2 MATRIKS

            Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.                          

    Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

CONTOH

Jika A =                     , dan B =

Maka A + B =                                     =

                         A - B  =                                      =

BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA PENJUMLAHAN MATRIKS

1) A + B = B = A                                  ( Sifat Komutatif)

2) (A + B) + C = A + ( B + C)    (Sifat Asosiatif)

3)  A + 0 = 0 + A = A               (Sifat Identitas tambah)

PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS

            Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks        A = (a_ij), maka Matriks kA = (ka_ij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

            Jadi, jika   A =                , maka : kA =

           

            Contoh : Misal A =                       ,

            maka 3A = 3                       =                              = 

           

           

SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL

Jika a dan b bilangan real, maka :

( a + b )A   = aA + bA

a ( A + B )  = aA + aB

a( bA )       = (ab)A

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS)

            Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.

            A _mxp.B_pxn = C _mxn

            Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika  A =                      >> ordo matriks 2x3

                                                    

                                                     B =                      >>  ordo matriks 3x2

                                                           

                                                    C = A . B

                                                                     =                       >> ordo matriks 2x2     

Dimana

                                                    

                                                             

                                                                         

                                               

DETERMINAN MATRIKS

            Determinan matriks 𝐴 di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks � dinotasikan dengan det 𝐴 atau |𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2

Jika Matriks A =             maka det (A) = |A| = |      |= ad – bc

Contoh :

P =              maka,

            det (P) = |P| = |          | = (2.3) – (1.(-6)) = 6+6 = 12

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3

            Untuk mencari determinanmatriks berordod apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut:

MetodeSarrus

MetodeEkspansiKofaktor

METODE SARRUS

            Cara ini paling  tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3×3.

            Cara sarrus :

            i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga.

            ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.

            Jika Matriks B =

            maka det (B) = |B| =

           

                                                        =  ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq

            Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

 

METODE EKSPANSI KOFAKTOR

•              Pengertian Minor . Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀_𝑖j adalah matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗.

Contoh :        Q  =                                maka,

 

 M_{11 =                    ,} M_{12 =                  ,} M_{13 =}

              M_11, M₁₂ , M₁₃ merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q

            

b. Pengertian Kofaktor Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗dari matriks A dilambangkan dengan

              𝐾_𝑖j =(−1)^𝑖+𝑗. |𝑀_𝑖j| = (−1)^𝑖+𝑗.det (𝑀_𝑖.j)

Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo 3x3 :

            Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi bari ke -1

CONTOH

            𝑄 =

            Untuk mendapatkan det(𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :

M₁₁=            , det(𝑀₁₁) = 11 ; M₁₂=            , det(𝑀₁₂) = -32 ;

M₁₃=             , det(𝑀₁₃)=− 47

det(𝑄)= 𝑘₁₁.𝑞₁₁+𝑘₁₂.𝑞₁₂+𝑘₁₃.𝑞₁₃

                        = (−1)¹⁺¹.|𝑀₁₁|.𝑞₁₁+ (−1)¹⁺².|𝑀₁₂|.𝑞₁₂ + (−1)¹⁺³.|𝑀₁₃|.𝑞₁₃

                        =11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91

ADJOIN MATRIKS

            Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan   adj A = (k _ij )^T

CONTOH :

k11= (-1)1+1 |              =11 ; k12= (-1)1+2               =32 ;

k13= (-1)1+3              =−47 ; k21= (-1)2+1             =2 ;

k22= (-1)2+2 |         |=−19 ; k23 = (-1)2+3             =8 ;

k31= (-1)3+1          =−18 ; k32= (-1)3+2          =−11

k33= (-1)3+3         =18

Adj Q =                           = 

Jika A=              maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = − c, k 21= − b dan k 22 = a.

            Kemudian Adj A =                   =

            Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya.

INVERS MATRIKS

            Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A^-1.

            Definisi:

            Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B.

            Karena invers matriks A dilambangkan dengan A^-1 maka berlaku: A x A^-1 = A-1 x A= I

            Dimana I adalah matrik identitas.

INVERS MATRIKS ORDO 2×2

            Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2

            Misalkan A =           invers dari A adalah A^-1, yaitu

A ^-1 = ,                    dengan det A ≠ 0

            Contoh :

            Tentukan invers dari matriks D =   

            Jawab :

            det D =                 = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

            D ^-1=

                  =

                  =

                 

                  =

INVERS MATRIKS ORDO 3×3

Contoh: B =                         , tentukan B^-1!

            Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :

            Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . B33

                                    = (-1)³⁺¹             .0+(-1)³⁺²        .0+(-1)³⁺³        .6

                                    = 0 + 0 + 24 = 24

MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR

            Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

                                   

                                    =  

CONTOH

            TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM PERSAMAAN LINIER BERIKUT

            2x + y = 4

            3x + 2y = 9

                                    =

Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadi

AX =B,  A =            , X =       , B =

det A =   |         | = 1 dan A^{-1 = 1/1                                          =}                     

Oleh karena itu, X =A^-1B ó         =                   =

Jadi, HP adalah {(-1, 6)}

METODE CRAMER

metode cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat di kerjakan dengan metode cramer, jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A)≠0.