Download Materi ANALISIS NUMERIK

Download Materi ANALISIS NUMERIK

•            Analisa Numerik

•            Integrasi Numerik 2

•         Aturan Gabungan (Composite Rules)

         [a, b] dibagi-bagi menjadi N interval (tidak perlu sama).

        a = x₀< x₁ < x₂ < ... <x_n = b

         Misal : P_{i, k}(x) (i = 1, ..., N) adalah polinom interpolasi utk. f(x) pd. interval (x_i-1, x_i).

         Catatan : Utk. kemudahan pembahasan, dimisalkan x_i–x_i-1               sama atau ∀_i,

                        x_i= a + ih,       i = 0, ..., N,      h = (b-a)/N

                    Notasi f_s = f(a + sh), mk. f_i= f(x_i), i = 0, ..., N

•         Aturan Gabungan (Composite Rules)

•            Aturan segiempat

•         Aturan Gabungan (Composite Rules)

•            Aturan Simpson

•         Aturan Gabungan (Composite Rules)

•            Aturan Trapesium

Dng. cara yg. sama diperoleh

•            Aturan Titik Tengah

•         Aturan Gabungan (Composite Rules)

•            Aturan Trapesium Terkoreksi

•            Contoh

•            Dng. memakai aturan trapesium gabungan, tentukan N sehingga         teliti sampai 6 digits

         Jwb. :

        Errornya adalah –f’’(h)N^-2/12 ,  h ∈ (a, b)

        Batas atas errornya adalah :

       

         max |f’’(x)| pd. [0, 1] terjadi pada x = 0 atau x = 0, 1

•            Metoda Adaptif Quadrature

•             Adaptif ß lebar sub interval ditentukan oleh perilaku lokal integralnya (fungsinya).

–       Besar interval keseluruhan tidak harus sama.

•             Cocok utk. menghitung I(f) dlm. ketelitian tertentu dng. penghitungan fungsi lebih sedikit jika subinterval ditentukan dengan baik.

•             Perhatikan aturan trapesium gabungan

         di mana a = x₀< x₁ < ... < x_N = b tidak perlu berjarak sama.

         Besar error tergantung

         Jd.          jika f’’(x) ‘kecil’, maka pakai interval ‘besar’.

            jika f’’(x) ‘besar’, maka pakai interval ‘kecil’.

•         Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson

•             Diberikan f(x) pada [a, b] dan bilangan kecil e > 0. Cari p (aproksimasi) terhadap                 di mana |P – I| ≤ e dng. memakai penghitungan fungsi sesedikit mungkin.

•             Misal : x_i+1– x_i = h

–            

        Dng. subinterval ini hitung S_i pendekatan dari I_i

                      S_i = h/6 {f(x_i) + 4f(x_i + h/2) + f(x_i+1)}

•         Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson

–        

        Hitung     pendekatan dari I_i

–       Dng. memakai Error Simpson

              diperoleh :

•         Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson

•            Jk. [a, b] ada N interval maka errornya memenuhi

                   lalu :

•            Contoh

•             Contoh (7-8). Dng. memakai adaptive quadrature yg. berdasarkan aturan Simpson, cari aproksimasi (pendekatan) thd. integral :                dng. ketelitian kesalahan e = 0.0005 (harga sebenarnya I = 2/3).

         Jawab : [0, 1] à [0, ½] dan [½, 1]

                  pada [½, 1], h = ½            

                       

•            Contoh

            pada [0, ½]     

            [0, ½] à [0, ¼] dan [¼, ½]