Download Geometri Diskrit

TI2131 TEORI PROBABILITAS

Bagian 4 – DISTRIBUSI DISKRIT

Laboratorium Sistem Produksi

Ó2004

l   Proses Bernoulli

l   Distribusi Binomial

l   Distribusi Geometrik 

l   Distribusi Hipergeometrik

l   Proses & Distribusi Poisson

l   Pendekatan untuk Distribusi Binomial

4-1 Proses Bernoulli (1)

Proses Bernoulli (2)

Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah :

rDistribusi binomial,

rDistribusi geometrik, dan

rDistribusi hipergeometrik.

(termasuk kategori tersebut adalah distribusi multinomial dan negatif binomial).

Distribusi Binomial (1)

Sebuah variabel random, X, menyatakan jumlah sukses dari n percobaan Bernoulli dengan p adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan, dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n (jumlah sukses) dan p(probabilitas sukses). 

Selanjutnya, variabel random X disebut variabel random binomial.

Distribusi Binomial (2)

Distribusi Binomial (3)

Distribusi Binomial (4)

Distribusi Binomial (5)

Distribusi Binomial (6)

Distribusi Binomial (7) - Excel

Distribusi Binomial (8) - Excel

Distribusi Binomial (9)

Distribusi Binomial (10)

Distribusi Hipergeometrik (1)

Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui.

Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian. 

Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal. 

Distribusi Hipergeometrik (2)

r  Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi.

r  Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran Nuntuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n).

r  Jika sebuah variabel random (diskrit) Xmenyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh xsukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).

Distribusi Hipergeometrik (3)

Dengan demikian:

sukses C(D,x). C((N-D),(n-x)) atau     

yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C(N,n) atau

Distribusi Hipergeometrik (4)

Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalam  percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi kemungkinan :

Distribusi kemungkinan hipergeometrik sering pula disimbolkan dengan h(x;N;n;D).

Distribusi Hipergeometrik (4)

Distribusi Hipergeometrik (5)

Distribusi Hipergeometrik (6)

Distribusi Hipergeometrik (7)

Distribusi Hipergeometrik (4)

Distribusi Multinomial (1)

Distribusi Multinomial (2)

Distribusi Geometrik (1)

Distribusi Geometrik (2)

Distribusi Binomial Negatif (1)

Variabel random binomial X, menyatakan:

Jumlah sukses dari n percobaan independen Bernoulli.

p adalah probabilitas sukses (tetap untuk setiap percobaan

Jika ingin diketahui:

Pada percobaan keberapa (n) sejumlah sukses (c) dapat dicapai dalam percobaan Bernoulli.

Distribusi Binomial Negatif (1)

Pertimbangkan sebuah proses inspeksi untuk menemukan produk cacat (kategori sukses dengan probabilitas 0.1). Batas sebuah penolakan sebuah lot adalah jika ditemukan 4 buah cacat (D). Ditemukan bahwa sebuah lot ditolak setelah dilakukan inspeksi pada 10 produk.

Sebuah kemungkinan adalah DDDGGGGGGD. Dengan teori multiplikasi, probabilitas urutan tersebut adalah (0.1)⁴ (0.9)⁶.

Karena 10 percobaan tersebut independen, tanpa memper-hatikan urutan, probabilitas diperoleh 4 cacat dari 10 percobaan adalah (0.1)⁴ (0.9)⁶.

Distribusi Binomial Negatif (2)

Karena kriteria penolakan adalah ditemukannya 4 produk cacat, maka posisi ke-n adalah pasti produk cacat. Sehingga jumlah urutan yang mungkin adalah kombinasi 3 dari 9,    .

Probabilitas diperlukan 10 percobaan untuk menghasilkan 4 sukses adalah:

          Distribusi probabilitas negatif binomial:

Distribusi Binomial Negatif (3)

Perhatikan distribusi kumulatif:

dimana ruas kanan adalah:

yang dapat diperoleh dari distribusi kumulatif binomial

Proses & Distribusi Poisson

Percobaan bernoulli menghasilkan variabel random Xyang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi.

Jika pengamatan dilakukan pada pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random X adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu.

Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul (lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses kelahiran (birth atau arrival process) atau dikenal sebagai proses Poisson (Poisson process).

Proses & Distribusi Poisson

Sifat-sifat Proses Poisson:

m  Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.

m  Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (Dt mendekati nol) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.

m  Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.

Distribusi Probabilitas Poisson (1)

Distribusi Probabilitas Poisson (2)

Distribusi Probabilitas Poisson (3)

Distribusi Probabilitas Poisson (4)

Distribusi Probabilitas Poisson (5)

Distribusi Probabilitas Poisson (6)

Distribusi Probabilitas Poisson (7)

Distribusi Probabilitas Poisson (8)

Distribusi Probabilitas Poisson (9)

Pendekatan Binomial - Poisson (1)

Pendekatan Binomial - Poisson (2)

Pendekatan Binomial - Poisson (3)

Pendekatan Binomial - Poisson (4)

Distribusi Probabilitas Uniform