Download Materi Aljabar Matriks

ALJABAR MATRIKS

Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier

2x + 3y + 3z    = 0

  x +   y + 3z    = 0

   – x + 2y –  z             = 0

Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :

Macam matriks

Matriksbujur sangkar, bila m = n

Macam matriks

Matriksbaris, bila m = 1

Matrikskolom, bila n = 1

Macam matriks

Matriksnol, bila a_ij  = 0 :

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

MatriksDiagonal,

       Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

MatriksSatuan (unit matriks).

         Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.

           Disebut juga matriks identitas = [ I ]

Matrikssimetris, jika a_ij = a_ji

Matriksskew-simetris, jika a_ij = - a_ji

OPERASI MATRIKS

Kesamaan matriks

     Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila

             a_ij = b_ij

    

       [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.

OPERASI MATRIKS

Penjumlahan matriks

     Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C]

     [C]   =   [A]   +   [B]         

      c_ij   =   a_ij   +    b_ij

OPERASI MATRIKS

Perkalian dengan skalar :

     Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar  k  menghasilkan suatu matriks 

      [D] = k [A]

      

      d_ij = k . a_ij                  

     

     Sifat-sifat perkalian skalar matriks:

           k ( [A]  +  [B] ) = k [A]  +  k[B]

      k ( [A]  +  [B] ) = ( [A]  +  [B] ) k

[ A ] =                        ;  k = -2

[ D ] =

OPERASI MATRIKS

Perkalian matriks

    Matriks [A]_mxp dan  [B]_pxn  dapat dikalikan menghasilkan

     matriks baru

                           [E]_mxn= [A]_mxp [B]_pxn

Sifat-sifat perkalian matriks :

[A]  ( [B]  +  [C] )  =  [A]  [B]  +  [A]  [C]    ; sifat distributif

( [A] + [B] ) +  [C] =  [A]  [B]  +  [A]  [C]    ; sifat distributif

[A]  ( [B]  [C] )      = ( [A] [B] )  [C]           ; sifat assosiatif

[A]  [B]  ≠ [B]  [A]

[A]  [B]  =  [A]  [C]  ;  belum tentu  [B]  =  [C]

TRANSPOSE MATRIKS

Jika matriks  [A] dengan orde m x n

Transpose matriks [A] = [A]^T

adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]^T

Sifat-sifat dari transpose matriks

( [A]^T )^T   =  [A]

( k [A] )^T  =  k  [A]^T

( [A] + [B] )^T  =  [A]^T+ [B]^T

( [A] [B] )^T  =  [B]^T  [A]^T

DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR

[A]_2x2 =                                   

Det. [A] =

INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR

Matrikstidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut.

Apabila [A] dan [B] adalah matriks    bujur sangkar, dan  [A] [B] = [I] = [B] [A], maka     

    matriks[B] disebut inverse dari matrix [A], dan

     matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].

Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR

Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks SINGULAR.

Inverse dari matriks [A] biasa ditulis  [A]^-1

Metode Gauss-Jordan

Akan dicari inversi dari matriks [A]_nxn

Langkah-langkah yang dilakukan :

1) Ambil matriks satuan [I]_nxn

2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks[A] menjadi matriks satuan

3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks[ I ], sehingga setelah proses selesai matriks[ I ] telah berubah menjadi matriks [A]^-1

MATRIKS ORTHOGONAL

Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks orthogonal  

bila [A]^-1 = [A]^T

[A]  [A]^T = [A]  [A]^-1  =  [ I ]

TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS

Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka matriks tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk :

            [A] =   [L]  [U]

SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui dapat dituliskan sbb :

PARTISI MATRIKS

Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriksaslinya.

BEBERAPA RUMUS KHUSUS