contoh makalah deret matematika terbaru

BARISAN
DAN
DERET

Oleh :

Haryono

Fajar

STANDAR KOMPETENSI

MENGGUNAKAN KONSEP BARISAN DAN DERET DALAM PEMECAHAN MASALAH

KOMPETENSI DASAR

MENENTUKAN SUKU KE – n BARISAN DAN JUMLAH  n  SUKU DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI

MENGGUNAKAN NOTASI SIGMA DALAM DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN

MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN DERET

MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN DERET DAN PENAFSIRANNYA

MATERI POKOK / URAIAN MATERI

POLA BILANGAN

BARISAN BILANGAN

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

SUKU KE n  BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

SISIPAN

SUKU TENGAH

JUMLAH   n  SUKU DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

SUKU KE  n  BARISAN DAN DERET GEOMETRI

SISIPAN

SUKU TENGAH

JUMLAH  n  SUKU DERET GEOMETRI

DERET GEOMETRI TA HINGGA

NOTASI SIGMA

INDUKSI MATEMATIKA

MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH

SOLUSI DARI MASALAH MATEMATIKA

PENGERTIAN BARISAN

BARISAN ADALAH SUSUNAN BILANGAN YANG MEMILIKI ATURAN TERTENTU

CONTOH :

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ….( suku berikutnya ditambah 2 dari suku sebelumnya )

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … ( suku berikutnya dikali 2 dari suku sebelumnya )

9, 3, 1/3, 1/9, 1/27, … ( suku berikutnya merupakan kelipatan 1/3 dari suku sebelumnya )

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN ARITMATIKA : Barisan yang memiliki selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap

Contoh

            1, 3, 5, 7, 9, … .

            selisihnya  : 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2

            10, 8, 6, 4, 2,… .

            selisihnya  : 8 – 10 = 6 – 8 = 4 – 2 = - 2

Secara umum jika dapat dibuat :

U_1’ U₂, U₃, U₄,…. U_n

Jika U₁ = a dan selisih antara suku yang berurutan (beda ) = b maka

a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, …. . a + ( n – 1 ) b

U_1,U_2,  U_3,  U_4,  U_5,  U_6,……       U_n-2,      U_n-1,      U_n

SUKU KE - n

U_n= a +  ( n – 1 ) b

           

            U_n        = Suku ke – n

            a          = suku pertama

            b          = beda ( selisih suku berurutan )

            n          = banyak suku

CONTOH

DIKETAHUI BARISAN ARITMATIKA

            3, 9, 15, 21, …... TENTUKA SUKU KE – 20

            jwb :

            U₂₀ = a + ( n – 1 ) b

                         = 3 + ( 20 – 1 ) 6

                         = 3 + 19. 6

                         = 3 + 114

                         = 117

SUKU TENGAH

_•                             U₁, U₂, U₃

                SUKU TENGAHNYA ADALAH U₂

                U₂ = a + b

                         = ½ ( 2a + 2b )

                   = ½ ( a + a + 2b )

                   = ½ ( U₁ + U₃ )

2_.                           U₁, U₂, U₃, U₄, U₅

                SUKU TENGAHNYA ADALAH U₃

                U₂ = a + 2b

                         = ½ ( 2a + 4b )

                   = ½ ( a + a + 4b )

                   = ½ ( U₁ + U₅ )

•                           Dan seterusnya …

_•                             U₁, U₂, U₃, U₄, U₅ …. . Un_.

                U_t = ½ ( U₁+ U_n )

                dengan  n = ganjil

SISIPAN

Jika diketahui 2 bilangan   X dan Y akan disisipkan sebanyak  k bilanga sehingga terbentuk barisan aritmatika :

            x, x + b_s, x + 2b_s, x + 3b_s, ….. x + kb_s, y

            sehingga beda sisipannya adalah … .

            b_s = y – ( x  + kb_s )

            b_s + kb_s = y – x

            b_s         = ( y – x )/(1 + k)

            b_s         = beda sisipan

            y          = bilangan kedua

            x          = bilangan pertama

            k          = banyak sisipan

           

CONTOH SOAL SISIPAN

Diantara 7 dan 107 disisipkan 19 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan

            1.         beda barisan yang      terbentuk

            2.         Suku ke – 10    barisan yang   terbentuk

            3.         Suku tengah jika          ada

DERET ARITMATIKA

JIKA U₁, U_2,, U₃, …. .U_n MAKA

DERETNYA ADALAH  U₁ + U_2, + U₃ + …. + U_n

JUMLAH DERET ARITMATIKA :

S_n= U₁ + U_2, + U₃ + U₄ + …. + U_n-3 + U_n-2 + U_n-1 + U_n

S_n=     a      +    a+b         +   a+2b        + … + a+(n–4)b   + a+(n–3)b +  a+(n–2)b   + a+(n–1)b

S_n=a+(n–1)b + a+(n–2)b + a+(n–3)b +… + a+3b     +   a+2b  +   a+b     +      a

CONTOH SOAL

•                   Tentukan jumlah 20 bilangan dari deret 3 + 7 + 11 + 15 + … .

•                   Tentukan jumlah dari deret bilangan

                1 + 1 ½  + 2 + 2 ½ + … + 98 ½

3.  Diketahui deret aritmatika dengan U₁= 4 dan U₈ = 49. tentukan jumlah 40 bilangan

•                   Diketahui jumlah suku kedua dan ke empat adalah 20 dan jumlah suku ke tiga dengan ke lima adalah 38. tentukan rumus jumlah n suku

BARISAN GEOMETRI

Pengertian

Barisan Geometri adalah barisan bilanga yang memiliki rasio konstan

U_1,U_2, U_3, U_4, U_5, … U_n,

Lanjutan …

U_1,U_2, U_3, U_4, U_5, … U_n,

Jika  U₁ = a ®

U₁= a

U₂= ar

U₃= ar²

 U₄ = ar³

 ….

   U_n = ar ^n-1 

Latihan soal

Diketahui suku pertama barisan geometri adalah 3 dan rasionya adalah 1/3. tentukan suku ke 8

Dikethui suku ke – 2 suatu barisan geometri adalah 4 dan suku ke – 6 adalah      

Suku tengah

Suku tengah barisn geometri dapat dilihat berikut ini :

U_1,U_2, U_3, maka suku tengahnya U_2,

U₂=

Lanjutan :

Lanjutan :

DERET GEOMETRI

Contoh soal deret geometri

Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri  2, 4, 8, ….

DERET GEOMETRI TAK HINGGA