Downlod materi • Distribusi Variabel Diskret dan Kontinu

•       Materi 3
Distribusi Variabel Diskret dan Kontinu

•        Ir. Risma A. Simanjuntak, MT

•          Teknik Industri

•          Fakultas Teknologi  industri

•          Institut Sains & Teknologi AKPRIND

•          Yogyakarta

•       Kompetensi

•        Mampu mengidentifikasi distribusi variabel diskrit

•        Mampu mengidentifikai distribusi variabel kontinu

•       Pokok Bahasan

•       Distribusi Binomial

•       Distribusi Poisson

•       Distribusi Normal

•       Distribusi Eksponensial

•       Pengantar

•        Dalam melakukan simulasi, pertama-tama harus diketahui atau dilakukan penarikan random number . Penarikan random number sangat tergantung pada fungsi atau distribusi dari data yang diselidiki, khususnya yang dapat disusun dalam fungsi-fungsi sebagai berikut :

         a. Data dengan fungsi diskret

         b. Data dengan fungsi kontinu.

•       Distribusi Variabel Random Diskret

•       Distribusi binomial

•       Distribusi poisson

•       Distribusi Binomial

•        Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), di mana p adalah probabilitas sukses dan q = 1- p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, jika suatu variabel acak X menyatakan banyaknya x sukses yang terjadi pada n percobaan tersebut.

•       Distribusi Binomial (lanjut)

Dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas binomialdengan fungsi probabilitasnya:

            P_b(x;n’ p) = _nC_x p^x (i – p^)n-x = _nC_x p^x q^n-x 

di mana:

_nC_x = kombinasi dari n objek di mana setiap pemilihan diambil x objek

•         Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi probabilitas binomial di atas dapat dinyatakan sebagai:

        

•       Distribusi Diskret Uniform

•         Dalam meninjau distribusi ini probabilitas untuk menyeleksi setiap bilangan integer di antara a dan b adalah sama saja.

         Dengan demikian fx (x=r) = p ---- r = a,....., b

         dan diperoleh (b-a+1) p =1  maka

•       Distribusi Poisson

Distribusi Poisson ini mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai berikut:

            untuk x = 0,1,2,...

Juga sering disimbolkan dengan P(λ) dan secara teoritis dapat dilakukan dengan beberapa cara.

•       Distribusi Poisson (lanjut)

Sebagai contoh:

•        Dapat dilakukan melalui batasan dan Distribusi Binomial dengan B(n,p), bila n mencapai nilai besar tidak terbatas dan juga P sangat kecil maka dapat dilakukan dengan Poisson Variate.

•        Dan terdapat melalui hubungan dengan distribusi eksponensial dengan ε (β).β merupakan parameter eksponensial, apabila ada “Waktu di antara dua event (kejadian) adalah Independen”.

•        Dengan diketahui ti adalah random variate dari distribusi eksponensial:

Dengan demikian dari hubungan pada distribusi eksponensial akan dapat digunakan untuk menggenerate Random Variate x sebagai suatu Poisson variate yang dapat dirumuskan melalui pertabahan waktu t dengan batasan-batasan sebagai berikut:

Maka diperoleh:

•        Dengan mengalikan angka -1 akan mengubah ketidaksamaan

•        Maka diperoleh:

Dengan mengubah kembali logaritma normal akan diperoleh:

•       Distribusi Variabel Random Kontinu

•        Distribusi eksponensial

•        Distribusi normal

•        Distribusi Exponential
Distribusi eksponensial ini mempunyai PDF sebagai berikut:

Berarti CDF-nya adalah:

                    F(x)

•        Kemudian untuk mengambil random number bagi distribusi ini yang dinyatakan dengan R sebagai random number disusun R=F(x)
Berarti:

Random number yang diambil dari Uniform Variate (0-1) dapat di ganti dengan R.

Selanjutnya apabila diketahui bukan mean atau rata-rata dari distribusi eksponensial, namun yang diketahui adalah tingkat pelayanan dan juga lamanya waktu pelayanan itu, maka:

     t  =  waktu pelayanan

     λ = tingkat pelayanan (service rate) dalam unit waktu

Itu berarti distribusi fungsi densitas eksponensialnya adalah:

                                                         untuk t>0

maka untuk CDF akan diperoleh 

•       Fungsi Densitas Uniform

•       Apabila disamakan f(x)=R, maka akan diperoleh:

•       Distribusi Normal

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter µ_x dan σ_x di mana               dan σ_x>0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dariX adalah:

Distribusi Normal (lanjut)

Untuk setiap nilai µ_x dan σ_x , kurva fungsi akan simetris terhadap µ_x dan memiliki total luas di bawah kurva tepat 1. Nilai σ_x menentukan bentangandari kurva sedangkan µ_x menentukan pusat simetrisnya.

Distribusi normal kumulatif di definisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu.

•        Maka fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai:

•       Rangkuman :

•        Random variabel merupakan suatu fungsi distribusi kumulatif (CDF) termasuk didalamnya random number. Random variabel ini cukup penting untuk menghasilkan angka-angka yang dipakai langsung pada distribusi fungsi tersebut. Dalam nerumuskan random variabel dari fungsi-fungsi distribusi yang terdapat pada kehidupan nyata.  Pada umumnya : (a) Random Variabel dari distribusi fungsi diskret dan (b) fungsi distribusi kontinu

•       Soal-soal :

•                 Jika diketahui p=0,5 dan k 2 (dari distribusi binomial)

                a. Generate random variabel ini

                b. Apabila roses bilangan acak diketahui data          a = 77, Zo = 12357 dan m = 127.         perhitungkan Xn yang optimal diperoleh            untuk 5  kali random number,

•       Soal-soal (lanjut)

2. Sebuah toko roti membuat kue jenis donat yang dijual ke toko-toko dengan distribusi diskret uniform dengan kebutuhan harian maksimum 100 unit dan minimal 40 unit.

         Pertanyaan : apabila digunakan random number dengan data a = 77, m = 127 dan Zo = 12357, perhitungkan sbanyak 5 kali pengambilan random number

•       Kunci jawaban

•                 a. (0,25, 0,50, 0,25)

      b. ( 0, 0, 1, 1, 2)

2. (42, 41, 66, 85, 100 unit)