• Materi 3
Distribusi Variabel Diskret dan Kontinu
Distribusi Variabel Diskret dan Kontinu
• Ir. Risma A. Simanjuntak, MT
• Teknik Industri
• Fakultas Teknologi industri
• Institut Sains & Teknologi AKPRIND
• Yogyakarta
• Kompetensi
• Mampu mengidentifikasi distribusi variabel diskrit
• Mampu mengidentifikai distribusi variabel kontinu
• Pokok Bahasan
• Distribusi Binomial
• Distribusi Poisson
• Distribusi Normal
• Distribusi Eksponensial
• Pengantar
• Dalam melakukan simulasi, pertama-tama harus diketahui atau dilakukan penarikan random number . Penarikan random number sangat tergantung pada fungsi atau distribusi dari data yang diselidiki, khususnya yang dapat disusun dalam fungsi-fungsi sebagai berikut :
a. Data dengan fungsi diskret
b. Data dengan fungsi kontinu.
• Distribusi Variabel Random Diskret
• Distribusi binomial
• Distribusi poisson
• Distribusi Binomial
• Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), di mana p adalah probabilitas sukses dan q = 1- p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, jika suatu variabel acak X menyatakan banyaknya x sukses yang terjadi pada n percobaan tersebut.
• Distribusi Binomial (lanjut)
Dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas binomialdengan fungsi probabilitasnya:
Pb(x;n’ p) = nCx px (i – p)n-x = nCx px qn-x
di mana:
nCx = kombinasi dari n objek di mana setiap pemilihan diambil x objek
• Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi probabilitas binomial di atas dapat dinyatakan sebagai:
• Distribusi Diskret Uniform
• Dalam meninjau distribusi ini probabilitas untuk menyeleksi setiap bilangan integer di antara a dan b adalah sama saja.
Dengan demikian fx (x=r) = p ---- r = a,....., b
dan diperoleh (b-a+1) p =1 maka
• Distribusi Poisson
Distribusi Poisson ini mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai berikut:
untuk x = 0,1,2,...
Juga sering disimbolkan dengan P(λ) dan secara teoritis dapat dilakukan dengan beberapa cara.
• Distribusi Poisson (lanjut)
Sebagai contoh:
• Dapat dilakukan melalui batasan dan Distribusi Binomial dengan B(n,p), bila n mencapai nilai besar tidak terbatas dan juga P sangat kecil maka dapat dilakukan dengan Poisson Variate.
• Dan terdapat melalui hubungan dengan distribusi eksponensial dengan ε (β).β merupakan parameter eksponensial, apabila ada “Waktu di antara dua event (kejadian) adalah Independen”.
• Dengan diketahui ti adalah random variate dari distribusi eksponensial:
Dengan demikian dari hubungan pada distribusi eksponensial akan dapat digunakan untuk menggenerate Random Variate x sebagai suatu Poisson variate yang dapat dirumuskan melalui pertabahan waktu t dengan batasan-batasan sebagai berikut:
Maka diperoleh:
• Dengan mengalikan angka -1 akan mengubah ketidaksamaan
• Maka diperoleh:
Dengan mengubah kembali logaritma normal akan diperoleh:
• Distribusi Variabel Random Kontinu
• Distribusi eksponensial
• Distribusi normal
• Distribusi Exponential
Distribusi eksponensial ini mempunyai PDF sebagai berikut:
Distribusi eksponensial ini mempunyai PDF sebagai berikut:
Berarti CDF-nya adalah:
F(x)
• Kemudian untuk mengambil random number bagi distribusi ini yang dinyatakan dengan R sebagai random number disusun R=F(x)
Berarti:
Berarti:
Random number yang diambil dari Uniform Variate (0-1) dapat di ganti dengan R.
Selanjutnya apabila diketahui bukan mean atau rata-rata dari distribusi eksponensial, namun yang diketahui adalah tingkat pelayanan dan juga lamanya waktu pelayanan itu, maka:
t = waktu pelayanan
λ = tingkat pelayanan (service rate) dalam unit waktu
Itu berarti distribusi fungsi densitas eksponensialnya adalah:
untuk t>0
maka untuk CDF akan diperoleh
• Fungsi Densitas Uniform
• Apabila disamakan f(x)=R, maka akan diperoleh:
• Distribusi Normal
Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter µx dan σx di mana dan σx>0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dariX adalah:
Distribusi Normal (lanjut)
Untuk setiap nilai µx dan σx , kurva fungsi akan simetris terhadap µx dan memiliki total luas di bawah kurva tepat 1. Nilai σx menentukan bentangandari kurva sedangkan µx menentukan pusat simetrisnya.
Distribusi normal kumulatif di definisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu.
• Maka fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai:
• Rangkuman :
• Random variabel merupakan suatu fungsi distribusi kumulatif (CDF) termasuk didalamnya random number. Random variabel ini cukup penting untuk menghasilkan angka-angka yang dipakai langsung pada distribusi fungsi tersebut. Dalam nerumuskan random variabel dari fungsi-fungsi distribusi yang terdapat pada kehidupan nyata. Pada umumnya : (a) Random Variabel dari distribusi fungsi diskret dan (b) fungsi distribusi kontinu
• Soal-soal :
• Jika diketahui p=0,5 dan k 2 (dari distribusi binomial)
a. Generate random variabel ini
b. Apabila roses bilangan acak diketahui data a = 77, Zo = 12357 dan m = 127. perhitungkan Xn yang optimal diperoleh untuk 5 kali random number,
• Soal-soal (lanjut)
2. Sebuah toko roti membuat kue jenis donat yang dijual ke toko-toko dengan distribusi diskret uniform dengan kebutuhan harian maksimum 100 unit dan minimal 40 unit.
Pertanyaan : apabila digunakan random number dengan data a = 77, m = 127 dan Zo = 12357, perhitungkan sbanyak 5 kali pengambilan random number
• Kunci jawaban
• a. (0,25, 0,50, 0,25)
b. ( 0, 0, 1, 1, 2)
2. (42, 41, 66, 85, 100 unit)
