Aljabar Linear Elementer I
Drs. Darmo
Matriks
Definisi:
Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.
Contoh:
Matriks (Lanjutan)
Bentuk umum suatu matriks:
Elemen kolom ke-1 =
Elemen baris ke-1 =
Matriks (Lanjutan)
aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j
Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m ´ n.
Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks persegi.
Contoh:
Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.
Matriks (Lanjutan)
¡ Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama.
¡ Jumlah Dua Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.
Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen-elemen yang seletak dijumlahkan:
Contoh:
Matriks (Lanjutan)
¡ Hasil Kali Matriks dengan Skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemen-elemennya dikalikan dengan k.
¡ Hasil Kali 2 Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m ´ r dan B adalah matriks r n maka hasil kali A ´ B adalah matriks mxn yang elemen-elemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.
Matriks (Lanjutan)
Contoh:
2 3 3 4 2 4
(2 ´ 4) + (6 ´ 3) + (0 ´ 5) = 26
Sifat – sifat Matriks
Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku:
• A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan)
• A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan)
• k(A+B) = kA+kB kskalar
• (k+l)A = kA + lA k dan l skalar
• (kl)A = k(lA) kdan l skalar
• k(AB) = kA(B) = A(kB) kskalar
• A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian)
• A(B+C) = AB + AC (H. Distributif)
• (A+B)C = AC + BC (H. Distributif)
Latihan Soal
• Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 4´5 dan misalkan C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 52, 42, dan 54. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya.
• Hitunglah a, b, c dan d jika
• Ditentukan: dan
dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:
Latihan Soal (lanjutan)
dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:
• Misalkan Q adalah matriks n´n yang elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j. Perlihatkan bahwa aI = Ia = a untuk setiap matriks A n´n .
• Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama, apakah (A+B)2=A2+2AB+B2. Mengapa?
Definisi:
Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao= I (matriks Identitas) An =A´A A A … A sebanyak n faktor.
Jika A suatu matriks m´n maka transpose matriks A ditulis Atatau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m.
Contoh:
Sifat Transpose Matriks
Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat berikut:
Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka:
• (At)t = A
• (A+B)t = At + Bt
• (kA)t = k(At)
• (AB)t = Bt . At
Contoh:
¡ Jadi (AB)t = Bt. At
Macam-macam Matriks
Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh:
Matriks satuan / Identitas
adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I.
Contoh:
Matriks diagonal
adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.
Contoh:
Macam-macam Matriks (lanjutan)
Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
Matriks segitiga bawah
adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
Matriks simetri
adalah matriks persegi yang berlaku A = At.
Contoh:
Macam-macam Matriks (lanjutan)
Matriks Eselon
adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut:
• Jika ada baris nol maka letaknya di bawah.
• Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu.
Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry.
• Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula.
Contoh:
Matriks Eselon Tereduksi
adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya nol.
Contoh:
Operasi Baris Elementer (OBE) & Matriks Elementer
¡ Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai berikut:
• Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j).
• Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan baris ke-i dengan k, k ≠ 0).
• Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i ditambah k kali baris ke-j)
Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan berturut-turut dinyatakan dengan:
• Rij
• Ri(k) atau k. Ri
• Rij(k) atau Ri + k.Rj
Operasi Baris Elementer (OBE) (lanjutan)
Contoh:
¡ Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di tulis A ~ B.
¡ Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE sejenis.
Operasi Baris Elementer (OBE) (lanjutan)
¡ Misalkan:
§ A Rij B Þ B Rij A
§ A Ri(k) B Þ B Ri(1/k) A
§ A Rij(k) B Þ B Rij(-k) A
¡ Jika A, B, dan C tiga matriks berordo sama maka
• Jika A ~ B maka B A (sifat simetri)
• Jika A ~ B dan B C maka A ~ C (sifat transitif)
Matriks Elementer
Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu kali OBE.
Jika E suatu matriks elementer berordo m´m, dan A suatu matriks berordo mn maka EA hasilnya akan sama dengan matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer yang sesuai.
Matriks Elementer (lanjutan)
Contoh:
Diketahui :
Invers (Menggunakan OBE)
Definisi:
matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I.
A disebut invers B dan B disebut invers A.
invers A di tulis A-1.
Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga.
(Iij)-1 = Iij
(Ii(k))-1 = Ii(1/k)
(Iij(k))-1 = Iij(-k) à Mengapa ???
Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan)
Contoh:
Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan)
Perhatikan sekarang dengan menggunakan
beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks eseleon baris tereduksi.
Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan)
Contoh:
Determinan
¡ Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn = n!
Contoh:
untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 3´21 = 6; yaitu:
(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)
(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)
¡ Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:
§ 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului yang lebih kecil.
§ 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2.
§ 6 5 4 3 2 1 inversinya 15 (selidiki sendiri!)
Determinan (lanjutan)
Permutasi genap à permutasi yang banyak inversinya genap.
Permutasi ganjil à permutasi yang banyak inversinya ganjil.
Determinan (lanjutan)
Perkalian elementer dari An´n ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak sebaris dan tidak sekolom.
Contoh:
Yaitu:
Perkalian elementer bertanda dari An´n adalah perkalian elementer dari A dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya.
Contoh: di atas
Determinan (lanjutan)
Determinan matriks An´n ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A.
Contoh:
Determinan (lanjutan)
Determinan (lanjutan)
Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut MINOR unsur aij; ditulis Mij
Contoh:
Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij
maka K23=(-1)2+3M23 = 1
Determinan (lanjutan)
Determinan matrik A dapat Juga dihitung dengan :
(diuraikan atas baris ke i)
Atau
(diuraikan atas kolom ke j)
Determinan (lanjutan)
Contoh :
Tugas Individu
¡ Tuliskan sifat-sifat determinan beserta contohnya.
¡ Jangan lupa tuliskan referensi yang Anda pakai.
¡ Tugas ditulis tangan dengan rapi dalam kertas folio.
¡ Dikumpulkan satu minggu setelah tugas ini diberikan.
Matriks Kofaktor & Adjoint
Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah matriks yang berbentuk
Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)
Matriks Kofaktor & Adjoint (lanjutan)
Contoh:
Matriks Kofaktor & Adjoint (lanjutan)
Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai berikut.
Contoh:
Matriks Kofaktor & Adjoint (lanjutan)
Menggunakan matriks adjoint
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
ILUSTRASI GRAFIK
SPL 2 persamaan 2 variabel:
Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL BENTUK MATRIKS
TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL
CONTOH
LANJUTAN CONTOH
Lanjutan CONTOH
BENTUK ECHELON-BARIS
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
Bentuk umum echelon-baris
Bentuk umum echelon-baris tereduksi
METODA GAUSS-JORDAN
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah
matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
METODA SUBSTITUSI MUNDUR
LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR
Eliminasi Gaussian
0 komentar:
Posting Komentar