Download Materi Matematika dasar

Ruang Lingkup: Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks. Sasaran: Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian Univ. Jambi • Tujuan : Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerap-annya pada persoalan ekonomi. • Kompetensi: • Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika. • Literatur • Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York • Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta • Materi: • Pegertian Matematika • Himpunan • Sistem Bilangan • Fungsi • Fungsi Linear • Fungsi non Linear • Diferensial Fungsi Sederhana • Diferensial Fungsi Majemuk • Aljabar Matriks HIMPUNAN = GUGUS Silabus: • Definisi, pencatatan dan himpunan khas • Himpunan Bagian • Pengolahan (operasi) himpunan • Hubungan Dua cara pencatatan suatu himpunan • Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4. b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri • Latihan: Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € Daerah dan Wilayah (Range) hubungan • Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan • Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: • Wh = {1, 2, 3} Kesimpulan: • Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. • X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } • Daerah hubungan Dh = { x / x € X} • Daerah hubungan: Wh = { y / y € Y} SISTEM BILANGAN 2. Tanda pertidaksamaan • Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” • Tanda > melambangkan “lebih besar dari” • Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” • Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat • Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b • Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b • Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b • Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Fungsi Silabus: • Pengertian • Macam-macam fungsi • Fungsi Linear • Fungsi non Linear Fungsi linear • Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi • Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - invests dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1. • Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn • Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx  bentuk umum Contoh: y = 4 + 2x  a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y • Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. • Latihan-1 y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : Kurva (grafik) fungsi • Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. • Misalkan y = 36 – 4x maka a = -4  (∆y/∆x) b = 36 • Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y • Hubungkan kedua titik penggal tersebut • Titik penggal pada sb x,  y = .., x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y,  x = .., y = … atau titik (…, …) Grafik: • Gambarkan grafik fungsi: • y = 2 + 4x • Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2) • Gambarkan : Fungsi non linear (kuadratik) • Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi • Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. • Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom: y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn • Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 ± 0, yaitu y = a0 + a1x + a2x2 atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c • Contoh - 1: • y = 8 – 2x – x2 a = -1 (a < 0) b = -2 c = 8  Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x) (2 - x)(4 + x) = 0 (2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b ± √ b2 – 4ac x = -------------------- 2c - (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = ------------------------------- 2(-1) 2 ± √ 4 + 32 2 ± 6 x = ---------------- = --------- -2 -2 x1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0) x2 = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi. b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8) c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari. • Mencari titik maks atau min • Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b2 – 4ac x = ----, dan y = ----------- 2a -4a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min y = 8 – 2x – x2, a < 0  berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1 ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.  titik maks (-1, 9). • Gambarkan kurvanya: • Latihan: Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2x2 + 4x + 6 Lanjutan: • Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit • Mencari titik potong dua garis/persamaan • Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut • Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong • Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3 x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3  y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10 • • Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10) • Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. • Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4y = 23  4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4) • Latihan • Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut DERIFATIF 1.1. Pengantar Kalkulus Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang • Fungsi b. Derivatif atau fungsi turunan c. Derivatif parsial dan d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan 2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal 4) Revenue dan marginal revenue 5) Maksimisasi penerimaan dan profit. 6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan. 1.2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 3 Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Keadaan di atas, dicatat sebagai: • 1.3. Pengertian Derivatif • Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: • lim f(x) = f(x0) Sehingga f(x) – f(x0) Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x). Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1, dititik x = 5. Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x2 + 1 (-) Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1 = x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1 = 2xΔx + (Δx)2 Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2 Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. 1.4 Rules of differentiation Rule 1: Derivative of a power function. Fungsi pangkat (power function) y = xn y + Δy = (x + Δx)n Δy = (x + Δx)n – y Δy = (x + Δx)n – xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3 C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. C(i, n) = ------------ n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1 Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + ………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1 C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----- Δy = (x + Δx)n – xn = xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2 Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2 = c2xΔx + c(Δx)2 ---- = c2x + c(Δx) lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x Contoh: y =f(x) = 5x2 f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x) Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x). Contoh: Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37 g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3 h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2 k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3. Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x) Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x2; h’(x) = 6x Jadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x. Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)]2 Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3) = 2x + 2 – 2x + 3 = 5 Rule 6: Chain rule Fungsi berantai bentuknya sbb: Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2x Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15y Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu dy/dx = 2 Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit. Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x. v = t2 dan t = 1 + x2 Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx. Dengan memakai derivatif fungsi berantai: Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2. 1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d2y/dx2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2. f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6 f”’(x) = 6 f”’(2) = 6. 1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung. Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: Contoh: z = (x2 + y2)3 ∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2 ∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2 ∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2) ∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2) ∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24xy(x2 + y2). ∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2) Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx. Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy fyx = fxy Maksimum dan minimum y = f(x) akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 < 0 akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 > 0 akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 = 0 Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x1, x2), Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2 d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11 Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x2 + xy + y2 – 3x + 2 Langkah-langkah: • Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3 fy = x + 2y • fx = 0 dan fy = 0 2x + y – 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x. Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0 atau 3x = 6  x = 2. Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1 fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1). d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2 = 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1. 1.5 Aplikasi dalam ekonomi 1) Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- -- Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56 Dengan pendekatan derivatif: Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1.60. Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol, sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi hasilnya sedikit berbeda. 2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk. Contoh dengan fungsi biaya: TC = q3 – 4q2 + 10q + 75. FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10 AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q • Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga. Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq. 4). Fungsi produksi Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah: • Jumlah produk yang yang akan diproduksi • Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb. Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI. Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output. Fungsi produksi, secara umum dicatat: Q = f(x1, x2, x3, … , xn) Q = output xi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , n Apabila dalam proses produksi: Q = f(x1/x2, x3, … , xn) input xI ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns “bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip”. Tambahan output yg didapat karena adanya tam-bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat di-turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/x Jadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di-tunjukkan oleh kurva berikut ini. Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb: a. Pada saat PT maks, maka PM = 0 b. Pada saat PR maks, maka PM = PR c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT. Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk Q = f(x1, x2)/x3, … , xN) atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut: