download materi Analisis Real dan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS

•   Pengertian Bilangan Kompleks

•   Diagram Bilangan Kompleks

•   Operasi Dalam Bilangan Kompleks

               a. Penjumlahan dan pengurangan

               b. Perkalian

               c. Pembagian

Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang mempunyai bentuk a+bi, dengan a dan b merupakan bilangan real dan i adalah bilangan imajiner .

Sedangkan bilangan imajiner adalah bilangan-bilangan yang apabila dikuadratkan bernilai negatif. Sebagai dasar yang digunakan adalah bilangan “i” dengan ketentuan :

            i² = -1 dan i= √-1

Diagram Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks Dapat Disajikan Dalam Beberapa Cara, yaitu:

•    Bilangan Kompleks dalam bentuk pasangan berurutan (x,y) dengan sumbu x adalah sumbu real dan sumbu y adalah sumbu imajiner dan bidangnya di sebut bidang kompleks atau bidang Argand.

                                    imaginary axis       

                                                         y      z= x+yi

                                                           

                                                           0                 x     real axis

                                                                    -y

                                                                                                z = x-yi

              contoh : bilangan Kompleks                  pasangan berurutan

                                    3+2i                 →            (3,2)

                                    4-2i                  →            (4,-2)                      

b. Bilangan kompleks dalam bentuk vektor yang berpangkal di titik O (0,0) pada bidang      Argand dan berujung di titik (x,y).
            Nilai mutlak bilangan kompleks:
            │x+yi│ =
            contoh :
            4+3i mempunyai nilai mutlak
             │4+3i│ =
                           =
                           = √25=5
              

Operasi Bilangan Kompleks

•    Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan pada suku banyak.

 z₁+z₂  = (a+bi)+(c+di)

                    = (a+c)+(b+d)i

Pengurangan bilangan kompleks sama dengan invers negatifnya.

                         z₁-z₂ = z₁ + (-z₂)

                   = (a+bi)+(-c-di)

                   = (a-c)+(b-d)i

Contoh:

(2+3i) + (4+2i)=…

= (2+4) + (3i+2i)

            = 6 + (3+2)I

            = 6 + 5i

(3-2i) – (1-4i)=…

= (3-2i) + (-1+4i)

            = (3-1) + (-2+4)I

            = 2 + 2i

 Sifat- sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks.
- tertutup
- elemen identitas (“nol”): (0,0)
- invers aditif (z+(-z))=0

   2. Perkalian  dan pembagian bilangan kompleks
Perkalian dua bilangan kompleks dapat dikerjakan sebagai perkalian polinom dengan mengingat bahwa i²=-1
        (a+bi)(c+di) = a(c+di)+bi(c+di)
   = ac+adi+bci+bdi²
   = (ac-bd)+(ad+bc)i
sifat-sifat perkalian bilangan kompleks
- tertutup
- komutatif z₁xz₂= z₂xz₁
- elemen identitas
- asosiatif (z₁xz₂)xz₃=z₁x(z₂xz₃)
- distributif perkalian terhadap penjumlahan  z₁x(z₂+z₃)=z₁.z₂+z₁.z₃

Pembagian bilangan kompleks dioperasikan dengan merasionalkan penyebutnya.
Contoh:


                       

                  
         
         

                       
 

The end