Download Materi Kalkulus

—KALKULUS 2

INTEGRAL

— Satuan Acara Perkuliahan
Mata Kuliah Kalkulus 2

—  Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar integral, integral tak tentu, integral tertentu)

—  Metode Integrasi (Integral dengan substitusi, Integral Parsial, Integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, substitusi khusus, rumus – rumus reduksi)

—  Fungsi Transenden (Logaritma dan Eksponen, Invers fungsi trigonometri)

—  Luas dan integral tertentu (luas, integral tertentu, sifat – sifat integral tertentu)

—  Volume benda putar

—  Luas permukaan benda putar

—  Integral tak wajar dan integral lipat dua

—  Differensial parsial orde tinggi

—  Kalkulus dan geometri

—  Kesepatakan Perkuliahan

—  Prosentase Nilai

— Absensi = 20%

— Tugas = 20 %

— Quiz = 20 %

— UTS = 20 %

— UAS = 20 %

—  Nilai Mutu

—  PENGERTIAN INTEGRASI

—  Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:

      

—  Rumus – rumus dasar integrasi

      

      

—  Nah…. ini contoh2 nya bu…. pa…..

1.

2.

3.

4.

5.   

—  Silakan dicoba Tugas 1 nya,,,
saya yakin ibu-ibu dan bapa-bapa pasti bisa…..

—  Tentukanlah nilai integral dari:

       1.       dx

       2.                dx 

       3.

       4.

       5.   

—  Integral Tertentu

—  Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi  kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu

—  Sifat – sifat integral tertentu

       1.

   2. 

—  Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…)

3.

4.

5.

6.   

— Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x
Dengan batas x1=a dan x2=b

—  Luas Daerah Antara Dua Kurva

—  Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:

—Metode Integrasi

—  Integral dengan Substitusi

       contoh:

      

       Diusahakan menjadi bentuk

       Substitusi   u=2x-3

       Cari turunan dari u =

       Cari nilai dx:      

  

—  Maka:

—  Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:

      

             

—  Integral Parsial

—  Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial.

       Dengan pemisalan: u = f(x) dan  v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:

      

Contoh:

Jawab:

Jadikan bentuk

Pemisalan:

u =                                  dv =

Cari du dan v

du = 2x dx                     v =

                                        v =

Masukan ke bentuk

— VOLUME BENDA PUTAR

—  Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar  volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi.

—  Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

—  Lanjutan……

—  Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

—  Metode Cakram

       Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda  pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

—  Lanjutan………

       Misal pusat cakram                dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :

                                    Oleh karena itu, volume benda putar :

       Dapat juga ditulis

—  Lanjutan……..

       Sedangkan  bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

       Dapat juga ditulis:

— VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA

       Jika suatu daerah dibatasi oleh kurva  y=f(x), y = g(x), x=a dan x=b diputar sekeliling sumbu X sejauh 360 derajat, maka isi benda putar yang terjadi adalah:

      

      

—  Contoh Soal:

•      Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerah tersebut dibatasi oleh kurva                          , sumbu y, y=0 dan y=2!

•      Daerah yang dibatasi kurva                 dan sumbu x, diputar sekeliling sumbu x sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi!

•      Daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, y=3 dan y=7 diputar mengelilingi sumbu   y  sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi!

•      Buktikan bahwa isi kerucut:

•      Buktikan bahwa isi bola:

             

—  INTEGRAL TAK WAJAR

—  Bentuk integral   disebut                    Integral Tak Wajar , jika:

       a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, atau

       b. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [ a , b ]

•       Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga

—  Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka integralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut. Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju tak hingga maka disebut Divergen

—  Integran mempunyai titikdiskontinu pada [ a ,b ]