Artikel Matematika Diskrit - Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, , • ,  ,  , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a  b.

Contoh 1.1.

Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :

-. Operasi pembagian pada bilangan riil.

-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.

-. Operasi biner  yang didefinisikan sebagai a  b = a + b – 2ab.

Sifat Operasi Biner 

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  dan  adalah operasi biner. Operasi  dikatakan :
-. KOMUTATIF , jika a  b = b  a, untuk setiap a, b.
-. ASOSIATIF, jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap
-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a.
-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  , jika untuk setiap a, b, c berlaku a  (b  c ) = ( a  b)  (a  c) dan (b  c )  a = ( b  a)  (c  a).

Contoh 1

Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p+(-p)=0.


Contoh 2
-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q x r)  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4)  (2 + 3) x (2 + 4). 
Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner  , jika untuk setiap a, b  S berlaku a  b  S

Contoh 3

-. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y  Z berlaku x + y  Z.

-. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3  Z dimana 2 : 3  Z.

b>Matematika Diskrit Lainnya yang diupload terakhir :
E-Book/Modul
E-Book Matematika Diskrit Jilid I
E-Book Matematika Diskrit Jilid II
E-Book Matematika Diskrit Jilid III - Politeknik Telkom
E-Book Matematika Diskrit Jilid IV - Universitas Sriwijaya
Discrete Mathematics and Its Applications - Author Kenneth H. Rosen Publisher McGraw Hill
Slide Materi Kuliah
Slide/Sub-Bab Matematika Diskrit Jilid I
Slide/Sub-Bab Matematika Diskrit Jilid II - Teori Himpunan
Slide/Sub-Bab Matematika Diskrit Jilid III - Teori Himpunan dan Graph
Schaum's Outline of Discrete Mathematics - Author Seymour Lipschutz and Marc Lipson
Discrete Mathematics and Its Applications Sixth Edition - Author Kenneth H. Rosen
Artikel Kuliah Online
Definisi Matematika Diskrit - Wikipedia
Artikel Matematika Diskrit - Operasi Biner