Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, , • , , , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a b.
Contoh 1.1.
Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :
-. Operasi pembagian pada bilangan riil.
-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.
-. Operasi biner yang didefinisikan sebagai a b = a + b – 2ab.
Sifat Operasi Biner Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.
Misalkan dan adalah operasi biner. Operasi dikatakan :
-. KOMUTATIF , jika a b = b a, untuk setiap a, b.
-. ASOSIATIF, jika (a b) c = a (b c), untuk setiap a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a e = e a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1 a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a e2 = a, untuk setiap
-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a a-1 = a-1 a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a.
-. DISTRIBUTIF terhadap operasi , jika untuk setiap a, b, c berlaku a (b c ) = ( a b) (a c) dan (b c ) a = ( b a) (c a).
Contoh 1Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p+(-p)=0.
Contoh 2-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q x r) (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4) (2 + 3) x (2 + 4).
Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner , jika untuk setiap a, b S berlaku a b S
Contoh 3-. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y Z berlaku x + y Z.
-. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3 Z dimana 2 : 3 Z.
b>
Matematika Diskrit Lainnya yang diupload terakhir :E-Book/ModulE-Book Matematika Diskrit Jilid IE-Book Matematika Diskrit Jilid IIE-Book Matematika Diskrit Jilid III - Politeknik TelkomE-Book Matematika Diskrit Jilid IV - Universitas SriwijayaDiscrete Mathematics and Its Applications - Author Kenneth H. Rosen Publisher McGraw HillSlide Materi KuliahSlide/Sub-Bab Matematika Diskrit Jilid ISlide/Sub-Bab Matematika Diskrit Jilid II - Teori HimpunanSlide/Sub-Bab Matematika Diskrit Jilid III - Teori Himpunan dan GraphSchaum's Outline of Discrete Mathematics - Author Seymour Lipschutz and Marc LipsonDiscrete Mathematics and Its Applications Sixth Edition - Author Kenneth H. RosenArtikel Kuliah OnlineDefinisi Matematika Diskrit - WikipediaArtikel Matematika Diskrit - Operasi Biner
