Download materi Logika Fuzzy

•       LOGIKA FUZZY

•       Definisi

•              Logika Fuzzy adalah peningkatan dari logika Boolean yang mengenalkan konsep kebenaran sebagian. Di mana logika klasik menyatakan bahwa segala hal dapat diekspresikan dalam istilah binary (0 atau 1, hitam atau putih, ya atau tidak), logika fuzzy menggantikan kebenaran boolean dengan tingkat kebenaran.

•              Logika Fuzzy memungkinkan nilai keanggotaan antara 0 dan 1, tingkat keabuan dan juga hitam dan putih, dan dalam bentuk linguistik, konsep tidak pasti seperti "sedikit", "lumayan", dan "sangat". Dia berhubungan dengan set fuzzy dan teori kemungkinan. Dia diperkenalkan oleh Dr. Lotfi Zadeh dari Universitas California, Berkeley pada 1965.

•       Himpunan Fuzzy

•              Pada himpunan tegas (crisp set), nilai keanggotaan suatu item x dalam suatu himpunan A (ditulis m_A[x]) memiliki 2 kemungkinan :

–          Satu (1), artinya x adalah anggota A

–          Nol (0), artinya x bukan anggota A

•              Contoh 1 :

         Jika diketahui :

         S={1,2,3,4,5,6} adalah semesta pembicaraan

         A={1,2,3}

         B={3,4,5}

         maka :

–          Nilai kaanggotaan 2 pada A, _A[2] = 1, karena 2A

–          Nilai kaanggotaan 4 pada A, _A[4] = 0, karena 4 A

         Contoh 2:

         “Jika suhu lebih tinggi atau sama dengan 80 ^oF, maka suhu disebut panas, sebaliknya disebut tidak panas”

         Kasus :

–         Suhu = 100 ^oF, maka Panas

–         Suhu = 80.1 ^oF, maka Panas

–         Suhu = 79.9 ^oF, maka tidak panas

–         Suhu = 50 ^oF, maka tidak panas

•              If Suhu ≥ 80 oF, disebut panas

•              If Suhu < 80 oF, disebut tidak panas

•              Fungsi keanggotaan dari himpunan tegas gagal membedakan antara anggota pada himpunan yang sama

•              Ada problem-problem yang terlalu kompleks untuk didefinisikan secara tepat

Contoh 3 :

Misal variable umur dibagi menjadi 3 katagori :

•              MUDA   umur <35 tahun

•              PAROBAYA    35 ≤ umur ≤ 55 tahun

•              TUA                   umur > 55 tahun

•              Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan MUDA

•              Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan TIDAK MUDA

•              Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA

•              Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA

•              Apabila seseorang berusia 55 tahun, maka ia dikatakan TIDAK TUA

•              Apabila seseorang berusia 55 tahun lebih ½ hari, maka ia dikatakan TUA

•              Dari sini bisa dikatakan bahwa pemakaian himpunan crisp untuk menyatakan umur sangat tidak adil, adanya perubahan kecil saja pada suatu nilai mengakibatkan perbedaan katagori yang cukup signifikan

•              Himpunan fuzzy digunakan untuk mengantisipasi hal tersebut. Sesorang dapat masuk dalam 2 himpunan yang berbeda. MUDA dan PAROBAYA, PAROBAYA dan TUA, dsb. Seberapa besar eksistensinya dapat dilihat pada nilai/derajat keanggotaannya. Gambar  berikut menunjukkan himpunan fuzzy untuk variabel umur :

•             ATRIBUT HIMPUNAN FUZZY

•         FUNGSI KEANGGOTAAN HIMPUNAN FUZZY (MEMBERSHIP FUNCTION)

•                         Adalah suatu fungsi (kurva) yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1.

•                         Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan :

•                     Representasi linier

•                         Contoh : Soal SKD hal 9  dan 11

•                            Representasi segitiga (triangular)

                Ditentukan oleh 3 parameter {a, b, c} sebagai berikut :

               

                Contoh : soal hal 12 SKD

•                            Representasi Trapesium

                Ditentukan oleh 4 parameter {a,b,c,d} sebagai berikut :

               

                Contoh : soal hal 12 SKD

•       Representasi bentuk lain :

–      Bentuk bahu

–      Bentuk S

–      Bentuk lonceng

–      Bentuk Beta

–      Bentuk Gauss

•            Operasi Logika (Operasi Himpunan Fuzzy)

•                            Operasi logika adalah operasi yang mengkombinasikan dan memodifikasi 2 atau lebih himpunan fuzzy. Nilai keanggotaan baru hasil operasi dua himpunan disebut firing strength atau a predikat, menurut Kusumadewi (2004) ada 3 operasi dasar yang diciptakan oleh Zadeh :

•                    Operator AND, berhubungan dengan operasi intersection  pada himpunan,  a predikat diperoleh dengan mengambil nilai minimum antar kedua himpunan.

                                    AÇB = min(mA[x], mB[y])

                        Misal nilai keanggotaan umur 27 pada himpunan muda adalah  mMUDA[27] =       0,6 dan nilai keanggotaan 2 juta pada himpunan penghasilan TINGGI adalah mGAJITINGGI[2juta] = 0,8  

                        maka -predikat untuk usia MUDA     dan berpenghasilan TINGGI adalah nilai       keanggotaan minimun :

                       

                         mMUDAÇGAJITINGGI = min(m MUDA[27], m GAJITINGGI[2juta])

                                             = min (0,6 ;  0,8)

                                             = 0,6

•                            Operator OR, berhubungan dengan operasi union pada himpunan,  a predikat diperoleh dengan mengambil nilai maximum antar kedua himpunan.

                AÈB = max(mA[x], mB[y])

                Misal nilai keanggotaan umur 27 pada himpunan muda adalah mMUDA[27] = 0,6 dan nilai keanggotaan 2 juta pada himpunan penghasilan TINGGI adalah mGAJITINGGI[2juta] = 0,8  

                maka -predikat untuk usia MUDA atau berpenghasilan TINGGI adalah nilai keanggotaan maksimum :

                MUDA È GAJITINGGI = max(MUDA[27], GAJITINGGI[2juta])

                                                         = max (0,6 ;  0,8)

                                                         = 0,8

•                            Operasi NOT, berhubungan dengan operasi komplemen  pada himpunan,  a predikat diperoleh dengan mengurangkan nilai keanggotaan elemen pada himpunan dari 1.

                Misal nilai keanggotaan umur 27 pada himpunan muda adalah mMUDA[27]= 0,6   maka -predikat untuk usia TIDAK MUDA adalah :

                mMUDA’[27]          = 1 - MUDA[27

                                                = 1 - 0,6

                                                = 0,4

•       Penalaran monoton
(Aturan Fuzzy If Then)

•              Metode penalran secara monoton digunakan sebagai dasar untuk teknik implikasi fuzzy. Meskipun penalaran ini sudah jarang sekali digunakan, namun kadang masih digunakan untuk penskalaan fuzzy. Jika 2 variabel fuzzy direlasikan dengan implikasi sederhana sebagai berikut :

        

         If x is A Then Y is B

         atau y=f((x,A),B)

         maka sistem fuzzy dapat berjalan tanpa harus melalui komposisi dan dekomposisi fuzzy. Nilai output dapat diestimasi secara langsung dari nilai keanggotaan yang berhubungan dengan antesendennya

•                    Aturan Fuzzy If-Then  (atau disebut juga aturan fuzzy, fuzzy implikasi, atau pernyataan kondisional Fuzzy) adalah aturan yang digunakan untuk merumuskan relasi conditional antara 2 atau lebih himpunan fuzzy.

            Bentuk umum :

            If (X1 is A1)Ù  (X2 is A2) … (Xn is An) Then Y is B;  xi, yi skalar, dan A, B himpunan Fuzzy

            Menurut Kusumadewi (2004) Ada 2 fungsi implikasi yang digunakan yaitu :

•                Min (minimum), fungsi ini akan memotong output (konsekuen) himpunan  fuzzy.

•                Dot (product), fungsi ini akan menskala output himpunan fuzzy.

•          Contoh Implementasi

Contoh : Soal hal 28 SKD

»»  Baca Lebih Lanjut...

Download Materi Aljabar Matriks

ALJABAR MATRIKS

Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier

2x + 3y + 3z    = 0

  x +   y + 3z    = 0

   – x + 2y –  z             = 0

Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :

Macam matriks

Matriksbujur sangkar, bila m = n

Macam matriks

Matriksbaris, bila m = 1

Matrikskolom, bila n = 1

Macam matriks

Matriksnol, bila a_ij  = 0 :

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

MatriksDiagonal,

       Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

MatriksSatuan (unit matriks).

         Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.

           Disebut juga matriks identitas = [ I ]

Matrikssimetris, jika a_ij = a_ji

Matriksskew-simetris, jika a_ij = - a_ji

OPERASI MATRIKS

Kesamaan matriks

     Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila

             a_ij = b_ij

    

       [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.

OPERASI MATRIKS

Penjumlahan matriks

     Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C]

     [C]   =   [A]   +   [B]         

      c_ij   =   a_ij   +    b_ij

OPERASI MATRIKS

Perkalian dengan skalar :

     Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar  k  menghasilkan suatu matriks 

      [D] = k [A]

      

      d_ij = k . a_ij                  

     

     Sifat-sifat perkalian skalar matriks:

           k ( [A]  +  [B] ) = k [A]  +  k[B]

      k ( [A]  +  [B] ) = ( [A]  +  [B] ) k

[ A ] =                        ;  k = -2

[ D ] =

OPERASI MATRIKS

Perkalian matriks

    Matriks [A]_mxp dan  [B]_pxn  dapat dikalikan menghasilkan

     matriks baru

                           [E]_mxn= [A]_mxp [B]_pxn

Sifat-sifat perkalian matriks :

[A]  ( [B]  +  [C] )  =  [A]  [B]  +  [A]  [C]    ; sifat distributif

( [A] + [B] ) +  [C] =  [A]  [B]  +  [A]  [C]    ; sifat distributif

[A]  ( [B]  [C] )      = ( [A] [B] )  [C]           ; sifat assosiatif

[A]  [B]  ≠ [B]  [A]

[A]  [B]  =  [A]  [C]  ;  belum tentu  [B]  =  [C]

TRANSPOSE MATRIKS

Jika matriks  [A] dengan orde m x n

Transpose matriks [A] = [A]^T

adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]^T

Sifat-sifat dari transpose matriks

( [A]^T )^T   =  [A]

( k [A] )^T  =  k  [A]^T

( [A] + [B] )^T  =  [A]^T+ [B]^T

( [A] [B] )^T  =  [B]^T  [A]^T

DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR

[A]_2x2 =                                   

Det. [A] =

INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR

Matrikstidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut.

Apabila [A] dan [B] adalah matriks    bujur sangkar, dan  [A] [B] = [I] = [B] [A], maka     

    matriks[B] disebut inverse dari matrix [A], dan

     matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].

Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR

Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks SINGULAR.

Inverse dari matriks [A] biasa ditulis  [A]^-1

Metode Gauss-Jordan

Akan dicari inversi dari matriks [A]_nxn

Langkah-langkah yang dilakukan :

1) Ambil matriks satuan [I]_nxn

2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks[A] menjadi matriks satuan

3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks[ I ], sehingga setelah proses selesai matriks[ I ] telah berubah menjadi matriks [A]^-1

MATRIKS ORTHOGONAL

Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks orthogonal  

bila [A]^-1 = [A]^T

[A]  [A]^T = [A]  [A]^-1  =  [ I ]

TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS

Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka matriks tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk :

            [A] =   [L]  [U]

SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui dapat dituliskan sbb :

PARTISI MATRIKS

Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriksaslinya.

BEBERAPA RUMUS KHUSUS

»»  Baca Lebih Lanjut...